Área de un triángulo y volumen de un tetraedro

**a) [1’5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano $\pi$ con los ejes coordenados.** Primero, calculamos los puntos de intersección del plano $\pi: 2x + y + 3z - 6 = 0$ con cada uno de los ejes coordenados: * **Eje OX ($y=0, z=0$):** $$2x + 0 + 3(0) - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \implies A(3, 0, 0)$$ * **Eje OY ($x=0, z=0$):** $$2(0) + y + 3(0) - 6 = 0 \implies y = 6 \implies B(0, 6, 0)$$ * **Eje OZ ($x=0, y=0$):** $$2(0) + 0 + 3z - 6 = 0 \implies 3z = 6 \implies z = 2 \implies C(0, 0, 2)$$ Los vértices del triángulo son $\boxed{A(3,0,0), B(0,6,0) \text{ y } C(0,0,2)}$. 💡 **Tip:** Para hallar el corte con un eje, basta con igualar a cero las otras dos coordenadas en la ecuación del plano.

Para calcular el área del triángulo, utilizaremos el producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos los componentes de los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (0 - 3, 6 - 0, 0 - 0) = (-3, 6, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 3, 0 - 0, 2 - 0) = (-3, 0, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector que une dos puntos $P$ y $Q$ se obtiene restando las coordenadas del origen a las del extremo: $\vec{PQ} = Q - P$.

El área del triángulo es igual a la mitad del módulo del producto vectorial de estos dos vectores: $\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$. Calculamos el producto vectorial mediante el determinante resuelto por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 6 & 0 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = [6 \cdot 2 \cdot \vec{i} + 0 \cdot (-3) \cdot \vec{k} + 0 \cdot (-3) \cdot \vec{j}] - [(-3) \cdot 6 \cdot \vec{k} + 0 \cdot 0 \cdot \vec{i} + 2 \cdot (-3) \cdot \vec{j}]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 12\vec{i} - (-18\vec{k} - 6\vec{j}) = 12\vec{i} + 6\vec{j} + 18\vec{k}$$ Obtenemos el vector resultante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (12, 6, 18)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial genera un vector perpendicular al plano que contiene a los dos vectores originales.

Calculamos el módulo del vector hallado anteriormente: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{12^2 + 6^2 + 18^2} = \sqrt{144 + 36 + 324} = \sqrt{504}$$ Simplificamos el radical: $$\sqrt{504} = \sqrt{36 \cdot 14} = 6\sqrt{14}$$ Aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{14} = 3\sqrt{14} \text{ u}^2$$ Valor aproximado: $3\sqrt{14} \approx 11.22$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final (apartado a):** $$\boxed{\text{Área} = 3\sqrt{14} \text{ u}^2}$$

**b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano $\pi$ y los planos coordenados.** El tetraedro está formado por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$ y los puntos de corte hallados anteriormente: $A(3, 0, 0)$, $B(0, 6, 0)$ y $C(0, 0, 2)$. El volumen de un tetraedro se puede calcular como la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]|$$ Como los vectores son coincidentes con los semiejes positivos: $$\vec{OA} = (3, 0, 0), \quad \vec{OB} = (0, 6, 0), \quad \vec{OC} = (0, 0, 2)$$ Calculamos el determinante del producto mixto: $$\det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}) = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot 6 \cdot 2 = 36$$ Aplicamos la fórmula del volumen: $$V = \frac{1}{6} |36| = 6 \text{ u}^3$$ 💡 **Tip:** En este caso particular, donde las tres aristas son perpendiculares entre sí (están sobre los ejes), el volumen es simplemente $V = \frac{1}{6} \cdot (a \cdot b \cdot c)$, donde $a, b, c$ son las longitudes de los cortes con los ejes. ✅ **Resultado final (apartado b):** $$\boxed{V = 6 \text{ u}^3}$$