Inversas, determinantes y ecuaciones matriciales

**a) [1 punto] Halla, si es posible, $A^{-1}$ y $B^{-1}$.** Para que una matriz sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos primero el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 2) + (0 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot 0) - (0 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot 0 \cdot 1) - (2 \cdot 1 \cdot 0) = 2.$$ Como $|A| = 2 \neq 0$, la matriz **$A$ tiene inversa**. Ahora calculamos el determinante de $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = ((-1)(-1)(-1)) + (1 \cdot 1 \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot 0) - (0(-1)(1)) - (0 \cdot 1(-1)) - (-1 \cdot 1 \cdot 1) = -1 - (-1) = 0.$$ Como $|B| = 0$, la matriz **$B$ no es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada es invertible (o regular) si y solo si su determinante es distinto de cero. Si el determinante es cero, se dice que la matriz es singular.

Para calcular $A^{-1}$ usamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Calculamos la matriz de los adjuntos de $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz adjunta y dividimos por $|A|=2$: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/2 \\ -1 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/2 \\ -1 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix}, \quad B^{-1} \text{ no existe}}$$

**b) [0’25 puntos] Halla el determinante de $AB^{2013}A^t$ siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.** Aplicamos las propiedades de los determinantes: 1. El determinante de un producto es el producto de los determinantes: $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 2. El determinante de una potencia es la potencia del determinante: $|M^k| = |M|^k$. 3. El determinante de una matriz traspuesta es igual al de la matriz original: $|M^t| = |M|$. Entonces: $$|A B^{2013} A^t| = |A| \cdot |B|^{2013} \cdot |A^t| = |A| \cdot |B|^{2013} \cdot |A|$$ Sustituimos los valores obtenidos en el apartado anterior ($|A|=2$ y $|B|=0$): $$|A B^{2013} A^t| = 2 \cdot 0^{2013} \cdot 2 = 2 \cdot 0 \cdot 2 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A B^{2013} A^t| = 0}$$

**c) [1’25 puntos] Calcula la matriz $X$ que satisface $AX - B = AB$.** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$AX - B = AB \implies AX = AB + B$$ Podemos sacar factor común la matriz $B$ por la derecha: $$AX = (A + I)B$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Como existe $A^{-1}$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(A + I)B \implies X = (A^{-1}A + A^{-1}I)B$$ $$X = (I + A^{-1})B$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de los factores importa. Al despejar $X$, si $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa $A^{-1}$ debe aparecer a la izquierda de todo el término del otro lado.

Calculamos primero la suma $M = I + A^{-1}$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/2 \\ -1 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1/2 \\ -1 & 2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 3/2 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X = M \cdot B$: $$X = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1/2 \\ -1 & 2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 3/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - Fila 1: $x_{11} = 2(-1) + 0(1) + (-1/2)(0) = -2$ $x_{12} = 2(1) + 0(-1) + (-1/2)(0) = 2$ $x_{13} = 2(1) + 0(1) + (-1/2)(-1) = 2 + 1/2 = 5/2$ - Fila 2: $x_{21} = -1(-1) + 2(1) + (1/2)(0) = 1 + 2 = 3$ $x_{22} = -1(1) + 2(-1) + (1/2)(0) = -1 - 2 = -3$ $x_{23} = -1(1) + 2(1) + (1/2)(-1) = -1 + 2 - 1/2 = 1/2$ - Fila 3: $x_{31} = 0(-1) + 0(1) + (3/2)(0) = 0$ $x_{32} = 0(1) + 0(-1) + (3/2)(0) = 0$ $x_{33} = 0(1) + 0(1) + (3/2)(-1) = -3/2$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 5/2 \\ 3 & -3 & 1/2 \\ 0 & 0 & -3/2 \end{pmatrix}}$$