Cálculo de una primitiva y recta tangente

**a) [2 puntos] Determina la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f'(x) = (2x + 1)e^{-x}$ y su gráfica pasa por el origen de coordenadas.** Para obtener la función $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$, debemos calcular la integral indefinida: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (2x + 1)e^{-x} \, dx.$$ Esta integral es del tipo polinómica por exponencial, por lo que utilizaremos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común es usar el orden ALPES para elegir $u$ (Aritméticas/Polinómicas antes que Exponenciales).

Elegimos las partes de la siguiente manera: - $u = 2x + 1 \implies du = 2 \, dx$ - $dv = e^{-x} \, dx \implies v = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$ Aplicamos la fórmula: $$\int (2x + 1)e^{-x} \, dx = (2x + 1)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \cdot 2 \, dx.$$ Simplificamos y resolvemos la integral restante: $$f(x) = -(2x + 1)e^{-x} + 2 \int e^{-x} \, dx$$ $$f(x) = -(2x + 1)e^{-x} - 2e^{-x} + C.$$ Podemos sacar factor común $-e^{-x}$ para simplificar la expresión: $$f(x) = e^{-x}(-2x - 1 - 2) + C = (-2x - 3)e^{-x} + C.$$ $$\boxed{f(x) = -(2x + 3)e^{-x} + C}$$

El enunciado indica que la gráfica de $f$ pasa por el **origen de coordenadas**, lo que significa que $f(0) = 0$. Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión de $f(x)$ e igualamos a cero: $$f(0) = -(2(0) + 3)e^{0} + C = 0$$ $$-3 \cdot 1 + C = 0 \implies -3 + C = 0 \implies C = 3.$$ Por tanto, la función buscada es: $$\boxed{f(x) = -(2x + 3)e^{-x} + 3}$$ Podemos reescribirla también como $f(x) = 3 - \dfrac{2x + 3}{e^x}$.

**b) [0’5 puntos] Calcula la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente a $f$ en $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a).$$ En este caso $a = 0$. Necesitamos calcular la imagen $f(0)$ y la pendiente $m = f'(0)$: 1. **Punto de tangencia:** Ya sabemos por el apartado anterior que $f(0) = 0$. El punto es $(0, 0)$. 2. **Pendiente:** Usamos la expresión de la derivada dada en el enunciado $f'(x) = (2x + 1)e^{-x}$: $$f'(0) = (2 \cdot 0 + 1)e^{0} = 1 \cdot 1 = 1.$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente en un punto siempre coincide con el valor de la derivada de la función en la abscisa de dicho punto.

Sustituimos los valores obtenidos ($x_0=0, y_0=0, m=1$) en la fórmula punto-pendiente: $$y - 0 = 1(x - 0)$$ $$y = x.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = x}$$ Esta es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.