Optimización: Áreas de un triángulo y un cuadrado

Sea $x$ la longitud del trozo de alambre destinado a formar el **triángulo equilátero** (en metros). Como el alambre mide 10 metros, el trozo restante para formar el **cuadrado** será $10 - x$ metros. Restricciones del problema: $$0 \le x \le 10$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso es identificar qué cantidad queremos minimizar (función objetivo) y qué variables la definen.

Para construir la función área total, necesitamos las áreas individuales en función de $x$: **1. Triángulo equilátero:** Si el perímetro es $x$, cada lado mide $l = \frac{x}{3}$. La altura $h$ se calcula por Pitágoras: $$h = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2 - \left(\frac{x}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{x^2}{9} - \frac{x^2}{36}} = \sqrt{\frac{3x^2}{36}} = \frac{\sqrt{3}x}{6}$$ El área del triángulo es: $$A_T = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{\frac{x}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}x}{6}}{2} = \frac{\sqrt{3}x^2}{36}$$ **2. Cuadrado:** Si el perímetro es $10 - x$, cada lado mide $s = \frac{10-x}{4}$. El área del cuadrado es: $$A_C = s^2 = \left( \frac{10-x}{4} \right)^2 = \frac{(10-x)^2}{16}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área de un triángulo equilátero de lado $l$ es $\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$.

La función que queremos minimizar es la suma de ambas áreas: $$A(x) = A_T + A_C = \frac{\sqrt{3}x^2}{36} + \frac{(10-x)^2}{16}$$ Simplificamos un poco para derivar más fácilmente: $$A(x) = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 + \frac{1}{16}(100 - 20x + x^2)$$ $$\boxed{A(x) = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 + \frac{1}{16}x^2 - \frac{20}{16}x + \frac{100}{16}}$$

Derivamos la función $A(x)$ e igualamos a cero para hallar los extremos relativos: $$A'(x) = \frac{2\sqrt{3}x}{36} + \frac{2(10-x)(-1)}{16} = \frac{\sqrt{3}x}{18} - \frac{10-x}{8}$$ Igualamos a cero: $$\frac{\sqrt{3}x}{18} - \frac{10-x}{8} = 0 \implies \frac{\sqrt{3}x}{18} = \frac{10-x}{8}$$ Multiplicamos en cruz: $$8\sqrt{3}x = 18(10-x) \implies 8\sqrt{3}x = 180 - 18x$$ Agrupamos las $x$: $$x(8\sqrt{3} + 18) = 180$$ $$x = \frac{180}{18 + 8\sqrt{3}}$$ Podemos simplificar dividiendo entre 2: $$x = \frac{90}{9 + 4\sqrt{3}} \approx 5.65 \text{ metros}$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica si el valor obtenido está dentro del dominio $[0, 10]$. En este caso, $5.65$ es válido.

Calculamos la segunda derivada para confirmar que se trata de un mínimo: $$A''(x) = \frac{\sqrt{3}}{18} - \left( -\frac{1}{8} \right) = \frac{\sqrt{3}}{18} + \frac{1}{8}$$ Como $A''(x) > 0$ para cualquier valor de $x$ (es una constante positiva), la función es cóncava hacia arriba en todo su dominio, lo que garantiza que el punto crítico hallado es un **mínimo absoluto**. **Tabla de monotonía:** $$ \begin{array}{c|ccc} x & [0, 5.65) & 5.65 & (5.65, 10]\\ \hline A'(x) & - & 0 & +\\ \hline A(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$

Calculamos las longitudes de ambos trozos: - Trozo para el **triángulo**: $x = \frac{90}{9+4\sqrt{3}} \approx \mathbf{5.65 \text{ m}}$ - Trozo para el **cuadrado**: $10 - x = 10 - \frac{90}{9+4\sqrt{3}} = \frac{90 + 40\sqrt{3} - 90}{9+4\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{9+4\sqrt{3}} \approx \mathbf{4.35 \text{ m}}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Trozo triángulo: } 5.65 \text{ m}, \text{ Trozo cuadrado: } 4.35 \text{ m}}$$