Puntos coplanarios y área de un rectángulo en el espacio

**a) [1’75 puntos] Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que $ABCD$ es un rectángulo.** Para comprobar que los puntos $A, B, C$ y $D$ son coplanarios, formamos tres vectores a partir de ellos, por ejemplo $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$, y verificamos si su producto mixto es cero (lo que indica que el volumen del paralelepípedo que forman es nulo). Calculamos los componentes de los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 0, 4 - 5, 3 - 3) = (-1, -1, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (1 - 0, 2 - 5, 1 - 3) = (1, -3, -2)$$ $$\vec{AD} = D - A = (2 - 0, 3 - 5, 1 - 3) = (2, -2, -2)$$ Calculamos el determinante formado por estos tres vectores: $$\text{det}(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 1 & -3 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\text{det} = [(-1)(-3)(-2) + (-1)(-2)(2) + (0)(1)(-2)] - [(0)(-3)(2) + (-1)(1)(-2) + (-1)(-2)(-2)]$$ $$\text{det} = [-6 + 4 + 0] - [0 + 2 - 4] = -2 - (-2) = -2 + 2 = 0$$ Como el determinante es $0$, los vectores son linealmente dependientes y, por tanto, **los puntos son coplanarios**. 💡 **Tip:** Tres vectores son coplanarios si su producto mixto es igual a cero. Esto significa que están contenidos en el mismo plano.

Para que $ABCD$ sea un rectángulo, primero debe ser un paralelogramo. Esto ocurre si los vectores de sus lados opuestos son iguales (paralelos y de la misma longitud). Comprobamos si $\vec{AB} = \vec{DC}$: Ya tenemos $\vec{AB} = (-1, -1, 0)$. Calculamos $\vec{DC}$: $$\vec{DC} = C - D = (1 - 2, 2 - 3, 1 - 1) = (-1, -1, 0)$$ Como $\vec{AB} = \vec{DC}$, el cuadrilátero $ABCD$ tiene dos lados opuestos iguales y paralelos, lo que garantiza que **es un paralelogramo**. 💡 **Tip:** En un cuadrilátero ordenado $ABCD$, los lados son $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}$ y $\vec{DA}$. El paralelismo se comprueba viendo si $\vec{AB} = \vec{DC}$ (ojo con el sentido de los vectores).

Un paralelogramo es un rectángulo si tiene al menos un ángulo recto. Para comprobarlo, verificamos si los vectores de dos lados adyacentes, por ejemplo $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$, son perpendiculares mediante su producto escalar. Calculamos $\vec{BC}$: $$\vec{BC} = C - B = (1 - (-1), 2 - 4, 1 - 3) = (2, -2, -2)$$ Calculamos el producto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$: $$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-1, -1, 0) \cdot (2, -2, -2) = (-1)(2) + (-1)(-2) + (0)(-2)$$ $$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -2 + 2 + 0 = 0$$ Como el producto escalar es $0$, los vectores son perpendiculares (forman $90^\circ$). Al ser un paralelogramo con un ángulo recto, concluimos que **$ABCD$ es un rectángulo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Puntos coplanarios y } ABCD \text{ es un rectángulo.}}$$

**b) [0’75 puntos] Calcula el área de dicho rectángulo.** El área de un rectángulo se calcula como el producto de la longitud de sus lados adyacentes (base por altura). Calculamos el módulo de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$: $$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$ $$|\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ El área $A$ es: $$A = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{24}$$ Simplificamos el resultado: $$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \approx 4.899 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** También podrías haber calculado el área mediante el módulo del producto vectorial de dos lados, $|\vec{AB} \times \vec{BC}|$, pero en un rectángulo es más directo multiplicar las longitudes de los lados. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 2\sqrt{6} \text{ unidades cuadradas}}$$