Propiedades de los determinantes y rango

**a) [0’5 puntos] El rango de $M^3$.** Para determinar el rango de $M^3$, primero analizamos la invertibilidad de la matriz $M$. Sabemos que una matriz cuadrada de orden $n$ tiene rango máximo ($n$) si y solo si su determinante es distinto de cero. Como $\det(M) = 2 \neq 0$ y $M$ es de orden 3, entonces $\text{rg}(M) = 3$. Para la potencia de la matriz, utilizamos la propiedad de los determinantes que indica que el determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes: $$\det(M^3) = \det(M \cdot M \cdot M) = \det(M) \cdot \det(M) \cdot \det(M) = (\det(M))^3$$ Sustituimos el valor dado: $$\det(M^3) = 2^3 = 8$$ Como $\det(M^3) = 8 \neq 0$, la matriz $M^3$ sigue siendo de orden 3 y su determinante es no nulo, lo que implica que sus tres filas (o columnas) son linealmente independientes. 💡 **Tip:** Si una matriz cuadrada $A$ es regular (su determinante es distinto de cero), cualquier potencia $A^k$ también será regular y conservará el rango máximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{rg}(M^3) = 3}$$

**b) [0’75 puntos] El determinante de $2M^t$ ($M^t$ es la matriz traspuesta de $M$).** Para resolver este apartado, aplicamos dos propiedades fundamentales de los determinantes: 1. **Propiedad de la matriz traspuesta:** El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta: $$\det(A^t) = \det(A)$$ 2. **Propiedad del producto por un escalar:** Si multiplicamos una matriz de orden $n$ por un número real $k$, el determinante queda multiplicado por $k^n$: $$\det(k \cdot A) = k^n \cdot \det(A)$$ En nuestro caso, la matriz $M$ es de orden $n = 3$ y el escalar es $k = 2$: $$\det(2M^t) = 2^3 \cdot \det(M^t)$$ Aplicando la igualdad con el determinante original: $$\det(2M^t) = 8 \cdot \det(M) = 8 \cdot 2 = 16$$ 💡 **Tip:** Es un error común olvidar elevar el escalar al orden de la matriz. Recuerda que al multiplicar una matriz por $k$, multiplicas cada una de sus $n$ filas por $k$, y cada fila "aporta" un factor $k$ al determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(2M^t) = 16}$$

**c) [0’75 puntos] El determinante de $(M^{-1})^2$.** Utilizamos las propiedades del determinante de la matriz inversa y de la potencia: 1. **Determinante de la inversa:** El determinante de la inversa es el inverso del determinante: $$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$$ 2. **Determinante de la potencia:** $\det(A^k) = (\det(A))^k$ Combinando ambas propiedades: $$\det((M^{-1})^2) = (\det(M^{-1}))^2 = \left( \frac{1}{\det(M)} \right)^2$$ Sustituimos el valor de $\det(M) = 2$: $$\det((M^{-1})^2) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} = 0,25$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $M^{-1}$, es condición necesaria y suficiente que $\det(M) \neq 0$, lo cual se cumple en este ejercicio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det((M^{-1})^2) = \frac{1}{4} = 0,25}$$

**d) [0’5 puntos] El determinante de $N$, donde $N$ es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de $M$.** Aplicamos la propiedad elemental de los determinantes referente al intercambio de líneas (filas o columnas): * Si en un determinante se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas), el valor del determinante cambia de signo. Si llamamos $F_1, F_2, F_3$ a las filas de $M$, entonces: $$\det(M) = \det(F_1, F_2, F_3) = 2$$ La matriz $N$ se construye como: $$N = \begin{pmatrix} F_2 \\ F_1 \\ F_3 \end{pmatrix}$$ Por la propiedad mencionada: $$\det(N) = -\det(M)$$ Sustituimos el valor: $$\det(N) = -2$$ 💡 **Tip:** Cada vez que realizas un único intercambio de filas, multiplicas el determinante por $-1$. Si hicieras dos intercambios, el signo volvería a ser el original. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(N) = -2}$$