Cálculo de una integral definida mediante cambio de variable

Para resolver la integral $\int_{2}^{4} \frac{e^x}{1 + \sqrt{e^x}} dx$, seguiremos la sugerencia del enunciado y aplicaremos el cambio de variable $t = \sqrt{e^x}$. Primero, elevamos al cuadrado para despejar $e^x$: $$t^2 = e^x$$ Derivamos ambos miembros para obtener la relación entre los diferenciales: $$2t \, dt = e^x \, dx$$ Observamos que en el numerador de nuestra integral ya aparece la expresión $e^x \, dx$, lo cual facilita la sustitución directa. 💡 **Tip:** Siempre que hagas un cambio de variable en una integral definida, tienes dos opciones: deshacer el cambio al final o cambiar los límites de integración. Cambiar los límites suele ser más directo y evita errores al final.

Como la integral es definida, debemos calcular los nuevos límites de integración para la variable $t$: - Para el límite inferior ($x = 2$): $$t = \sqrt{e^2} = e$$ - Para el límite superior ($x = 4$): $$t = \sqrt{e^4} = e^2$$ Por tanto, la integral se transforma de un intervalo $[2, 4]$ en $x$ a un intervalo $[e, e^2]$ en $t$.

Sustituimos los elementos en la integral: $$\int_{2}^{4} \frac{e^x}{1 + \sqrt{e^x}} dx = \int_{e}^{e^2} \frac{2t}{1 + t} dt$$ Sacamos la constante fuera de la integral: $$2 \int_{e}^{e^2} \frac{t}{1 + t} dt$$

La integral resultante es de una función racional donde el grado del numerador es igual al del denominador. Realizamos una división polinómica sencilla o sumamos y restamos 1 en el numerador: $$\frac{t}{t+1} = \frac{t + 1 - 1}{t + 1} = \frac{t+1}{t+1} - \frac{1}{t+1} = 1 - \frac{1}{t+1}$$ Ahora la integral es inmediata: $$2 \int_{e}^{e^2} \left( 1 - \frac{1}{t+1} \right) dt = 2 \Big[ t - \ln|t+1| \Big]_{e}^{e^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$.

Evaluamos en los límites de integración aplicando la Regla de Barrow: $$2 \left[ (e^2 - \ln(e^2+1)) - (e - \ln(e+1)) \right]$$ Operamos para simplificar la expresión: $$2 \left( e^2 - e - \ln(e^2+1) + \ln(e+1) \right)$$ Usando las propiedades de los logaritmos ($\ln A - \ln B = \ln \frac{A}{B}$): $$2(e^2 - e) + 2 \ln \left( \frac{e+1}{e^2+1} \right)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2(e^2 - e) + 2 \ln \left( \frac{e+1}{e^2+1} \right)}$$