Límites laterales y asíntotas de una función exponencial

**a) [1 punto] Calcula los límites laterales de $f$ en $x = 0$.** Primero calculamos el límite cuando $x$ se acerca a $0$ por la izquierda ($x \to 0^-$). En este caso, el exponente $\frac{1}{x}$ tiende a $-\infty$. $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x e^{\frac{1}{x}} = 0 \cdot e^{\frac{1}{0^-}} = 0 \cdot e^{-\infty} = 0 \cdot 0 = 0.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ y que $e^{-\infty}$ tiende a $0$.

Ahora calculamos el límite cuando $x$ se acerca a $0$ por la derecha ($x \to 0^+$). En este caso, el exponente $\frac{1}{x}$ tiende a $+\infty$, lo que genera una indeterminación del tipo $0 \cdot \infty$. $$\lim_{x \to 0^+} x e^{\frac{1}{x}} = [0 \cdot \infty]$$ Para resolverla, reescribimos la función para aplicar la **regla de L'Hôpital**, pasando la $x$ al denominador como $\frac{1}{x}$: $$\lim_{x \to 0^+} x e^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Derivamos numerador y denominador respecto a $x$: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = e^{+\infty} = +\infty.$$ ✅ **Resultado (límites laterales):** $$\boxed{\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty}$$

**b) [1’5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.** Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde la función no está definida o en los extremos del dominio. El dominio de la función es $D = [-1, 0) \cup (0, +\infty)$. El único punto conflictivo es $x=0$. Basándonos en los cálculos del apartado anterior: - Por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ (no hay asíntota). - Por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$. Por tanto, existe una **asíntota vertical** en $x=0$ por la derecha. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 0 \text{ es asíntota vertical por la derecha}}$$

Como el dominio está restringido a $x \geq -1$, solo estudiamos el comportamiento cuando $x \to +\infty$. $$\lim_{x \to +\infty} x e^{\frac{1}{x}} = +\infty \cdot e^{\frac{1}{+\infty}} = +\infty \cdot e^0 = +\infty \cdot 1 = +\infty.$$ Al ser el límite infinito, **no existen asíntotas horizontales**. 💡 **Tip:** Si el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito es infinito, debemos proceder a buscar la posible asíntota oblicua.

Buscamos una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$ cuando $x \to +\infty$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x e^{\frac{1}{x}}}{x} = \lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1.$$ Como $m$ es un valor real distinto de cero, seguimos calculando $n$.

Calculamos el parámetro $n$: $$n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} (x e^{\frac{1}{x}} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to +\infty} x(e^{\frac{1}{x}} - 1) = [\infty \cdot 0]$$ Para resolver esta indeterminación, reescribimos y aplicamos la regla de L'Hôpital: $$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{\frac{1}{x}} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Derivamos numerador y denominador: $$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1.$$ Por tanto, la asíntota oblicua es $y = 1x + 1$. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = x + 1 \text{ es asíntota oblicua cuando } x \to +\infty}$$

A continuación se muestra la gráfica de la función (en azul), la asíntota vertical en $x=0$ y la asíntota oblicua $y=x+1$ (en rojo discontinuo).