Punto de una recta equidistante a dos planos

Para trabajar cómodamente con distancias, primero convertimos el plano $\pi_2$, dado en forma paramétrica, a su forma general o implícita $Ax + By + Cz + D = 0$. Identificamos un punto $A$ y los vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ de la parametrización de $\pi_2$: - Punto $A(-4, 1, 0)$ - Vector $\vec{u}(1, 1, 0)$ - Vector $\vec{v}(-3, 0, 1)$ La ecuación general se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - (-4) & y - 1 & z - 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila (o por Sarrus): $$(x + 4) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - (y - 1) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x + 4)(1) - (y - 1)(1) + z(0 - (-3)) = 0$$ $$x + 4 - y + 1 + 3z = 0 \implies x - y + 3z + 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Observa que $\pi_1$ y $\pi_2$ tienen el mismo vector normal $\vec{n} = (1, -1, 3)$, lo que indica que los planos son paralelos. $$\boxed{\pi_2 \equiv x - y + 3z + 5 = 0}$$

Un punto $P$ que pertenece a la recta $r$ debe cumplir sus ecuaciones. Expresamos la recta en ecuaciones paramétricas igualando a un parámetro $k$: $$r \equiv \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{1} = k$$ De aquí despejamos $x, y, z$ en función de $k$: - $x = 1 + 3k$ - $y = 2k$ - $z = -1 + k$ Cualquier punto $P$ de la recta tiene la forma: $$\boxed{P(1 + 3k, 2k, -1 + k)}$$

El enunciado pide que el punto $P$ equidiste de $\pi_1$ y $\pi_2$, es decir: $$d(P, \pi_1) = d(P, \pi_2)$$ Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Para $\pi_1 \equiv x - y + 3z + 2 = 0$: $$d(P, \pi_1) = \frac{|(1 + 3k) - (2k) + 3(-1 + k) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|1 + 3k - 2k - 3 + 3k + 2|}{\sqrt{11}} = \frac{|4k|}{\sqrt{11}}$$ Para $\pi_2 \equiv x - y + 3z + 5 = 0$: $$d(P, \pi_2) = \frac{|(1 + 3k) - (2k) + 3(-1 + k) + 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|1 + 3k - 2k - 3 + 3k + 5|}{\sqrt{11}} = \frac{|4k + 3|}{\sqrt{11}}$$ 💡 **Tip:** La equidistancia a dos planos paralelos significa que el punto debe estar en el plano medio situado entre ambos.

Igualamos ambas distancias: $$\frac{|4k|}{\sqrt{11}} = \frac{|4k + 3|}{\sqrt{11}} \implies |4k| = |4k + 3|$$ Esta ecuación de valor absoluto tiene dos posibles casos: **Caso 1:** $4k = 4k + 3$ $$0 = 3 \quad (\text{Imposible})$$ **Caso 2:** $4k = -(4k + 3)$ $$4k = -4k - 3 \implies 8k = -3 \implies k = -\frac{3}{8}$$ 💡 **Tip:** Recordamos que $|a| = |b| \iff a = b \text{ o } a = -b$. En este caso, como los planos son paralelos, la solución $a=b$ desaparece porque no hay puntos comunes.

Sustituimos el valor de $k = -\frac{3}{8}$ en las coordenadas de $P$: - $x = 1 + 3\left(-\frac{3}{8}\right) = 1 - \frac{9}{8} = -\frac{1}{8}$ - $y = 2\left(-\frac{3}{8}\right) = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$ - $z = -1 + \left(-\frac{3}{8}\right) = -\frac{8}{8} - \frac{3}{8} = -\frac{11}{8}$ Por tanto, el punto buscado es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P\left(-\frac{1}{8}, -\frac{3}{4}, -\frac{11}{8}\right)}$$