Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) [1’75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro $m$.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & m \\ m & 1 & 3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & m & m - 2 \\ m & 1 & 3 & m - 2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & m \\ m & 1 & 3 \end{vmatrix} = [1 \cdot (-1) \cdot 3 + 2 \cdot m \cdot m + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [1 \cdot (-1) \cdot m + m \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 3]$$ $$|A| = (-3 + 2m^2 + 1) - (-m + m + 6) = (2m^2 - 2) - 6 = 2m^2 - 8$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$2m^2 - 8 = 0 \implies 2m^2 = 8 \implies m^2 = 4 \implies m = \pm 2$$ 💡 **Tip:** El estudio del determinante de la matriz de coeficientes nos indica para qué valores del parámetro el rango de $A$ es máximo.

Si $m \neq 2$ y $m \neq -2$, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de columnas de la matriz ampliada y $A$ es una submatriz de $A^*$) - Número de incógnitas $= 3$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, al coincidir los rangos con el número de incógnitas, el sistema es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 2, -2 \implies \text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

Para $m = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que la columna de términos independientes es nula (sistema homogéneo), por lo que siempre será compatible. Analizamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 2 = -3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Como la columna de constantes es cero, $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2$. Dado que el número de incógnitas es 3: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 2 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Para $m = -2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & 3 & -4 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Tomamos el mismo menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ orlando dicho menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & -4 \\ -2 & 1 & -4 \end{vmatrix} = (4 + 16 + 0) - (0 - 4 - 8) = 20 - (-12) = 32 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -2 \implies \text{Sistema Incompatible (SI)}}$$

**b) [0’75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para $m = 2$.** Como hemos visto, para $m = 2$ el sistema es Compatible Indeterminado con $\text{rango} = 2$. Utilizamos las dos primeras ecuaciones, que son linealmente independientes: $$\left. \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 0 \\ x - y + 2z & = & 0 \end{array} \right\}$$ Pasamos una de las variables al otro miembro (por ejemplo, $z = \lambda$): $$\begin{cases} x + 2y = -\lambda \\ x - y = -2\lambda \end{cases}$$ Restamos las ecuaciones para eliminar $x$: $$(x + 2y) - (x - y) = -\lambda - (-2\lambda) \implies 3y = \lambda \implies y = \frac{\lambda}{3}$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $$x - \frac{\lambda}{3} = -2\lambda \implies x = \frac{\lambda}{3} - \frac{6\lambda}{3} = -\frac{5\lambda}{3}$$ 💡 **Tip:** Para evitar fracciones, puedes usar el parámetro $z = 3\lambda$, obteniendo soluciones enteras. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( -\frac{5\lambda}{3}, \frac{\lambda}{3}, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$