Área entre una recta y una hipérbola

**a) [0’5 puntos] Calcula los puntos de corte entre las gráficas de $f$ y $g$.** Para hallar los puntos de corte igualamos ambas funciones: $f(x) = g(x)$. $$2 - x = \frac{2}{x + 1}$$ Multiplicamos en cruz (teniendo en cuenta que $x \neq -1$): $$(2 - x)(x + 1) = 2$$ $$2x + 2 - x^2 - x = 2$$ $$-x^2 + x + 2 = 2$$ Restamos 2 en ambos lados: $$-x^2 + x = 0$$ $$x(-x + 1) = 0$$ Obtenemos dos soluciones para las abscisas: 1. $x = 0$ 2. $-x + 1 = 0 \implies x = 1$ Calculamos las ordenadas sustituyendo en $f(x)$ (o en $g(x)$): - Si $x = 0 \implies f(0) = 2 - 0 = 2$. Punto: $(0, 2)$. - Si $x = 1 \implies f(1) = 2 - 1 = 1$. Punto: $(1, 1)$. 💡 **Tip:** Siempre conviene verificar los puntos en ambas funciones para asegurar que el cálculo es correcto: $g(0) = 2/(0+1) = 2$ y $g(1) = 2/(1+1) = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(0, 2) \text{ y } (1, 1)}$$

**b) [0’5 puntos] Esboza las gráficas de $f$ y $g$ sobre los mismos ejes.** Analizamos brevemente cada función: - $f(x) = 2 - x$ es una **recta** con pendiente $-1$ y ordenada en el origen $2$. Pasa por $(0,2)$ y $(2,0)$. - $g(x) = \frac{2}{x + 1}$ es una **hipérbola**. - Tiene una asíntota vertical en $x = -1$. - Tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ ya que $\lim_{x \to \infty} g(x) = 0$. - En el intervalo que nos interesa $[0, 1]$, la función es decreciente y positiva. Ambas funciones se cortan en los puntos hallados anteriormente: $(0, 2)$ y $(1, 1)$.

**c) [1’5 puntos] Halla el área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$.** El recinto está limitado superior e inferiormente por las funciones entre los valores de $x$ donde se cortan, es decir, entre $x = 0$ y $x = 1$. Debemos determinar cuál es la función superior. Evaluamos en un punto intermedio, por ejemplo $x = 0.5$: - $f(0.5) = 2 - 0.5 = 1.5$ - $g(0.5) = \frac{2}{0.5 + 1} = \frac{2}{1.5} = \frac{4}{3} \approx 1.33$ Como $f(0.5) \gt g(0.5)$, la recta $f(x)$ está por encima de la hipérbola $g(x)$ en el intervalo $[0, 1]$. El área $A$ viene dada por la integral definida: $$A = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{1} \left( 2 - x - \frac{2}{x + 1} \right) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas se calcula como $\int_{a}^{b} [f_{superior}(x) - f_{inferior}(x)] \, dx$.

Calculamos la integral indefinida: $$\int \left( 2 - x - \frac{2}{x + 1} \right) \, dx = 2x - \frac{x^2}{2} - 2\ln|x + 1|$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites $[0, 1]$: $$A = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - 2\ln|x + 1| \right]_{0}^{1}$$ Sustituimos el límite superior ($x=1$): $$\left( 2(1) - \frac{1^2}{2} - 2\ln|1 + 1| \right) = 2 - 0.5 - 2\ln(2) = 1.5 - 2\ln(2)$$ Sustituimos el límite inferior ($x=0$): $$\left( 2(0) - \frac{0^2}{2} - 2\ln|0 + 1| \right) = 0 - 0 - 2\ln(1) = 0$$ Por tanto: $$A = 1.5 - 2\ln(2) - 0 = \frac{3}{2} - 2\ln(2) \text{ unidades}^2$$ Si calculamos el valor aproximado: $$A \approx 1.5 - 2(0.6931) = 1.5 - 1.3862 = 0.1138 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{3}{2} - 2\ln(2) \text{ u}^2}$$