Optimización: Rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo

Para resolver este problema de optimización, primero debemos representar el escenario y definir las variables. Sea un triángulo isósceles con base $B = 6$ m y altura $H = 4$ m. Colocamos la base sobre el eje $x$ del sistema de coordenadas, centrada en el origen. Los vértices del triángulo serán: - $V_1 = (-3, 0)$ - $V_2 = (3, 0)$ - $V_3 = (0, 4)$ Sea un rectángulo inscrito con base horizontal sobre el eje $x$. Definimos: - $x$: la mitad de la base del rectángulo (por simetría, el rectángulo va de $-x$ a $x$, por lo que su base total es $2x$). - $y$: la altura del rectángulo. El punto superior derecho del rectángulo $(x, y)$ debe estar sobre el lado del triángulo que une $(0, 4)$ con $(3, 0)$. 💡 **Tip:** En problemas de figuras inscritas, busca siempre una relación geométrica (como la semejanza de triángulos o la ecuación de una recta) para ligar las variables.

Utilizamos la semejanza entre el triángulo completo y el triángulo pequeño que queda por encima del rectángulo. La altura del triángulo grande es $4$ y su base es $6$. El triángulo pequeño superior tiene: - Altura: $4 - y$ - Base: $2x$ Por el **Teorema de Tales** (semejanza de triángulos): $$\frac{\text{Altura total}}{\text{Base total}} = \frac{\text{Altura superior}}{\text{Base superior}} \implies \frac{4}{6} = \frac{4-y}{2x}$$ Simplificamos y despejamos $y$: $$\frac{2}{3} = \frac{4-y}{2x} \implies 4x = 3(4-y) \implies 4x = 12 - 3y$$ $$3y = 12 - 4x \implies y = 4 - \frac{4}{3}x$$ Restricciones del dominio: Como $x$ es la mitad de la base y el triángulo llega hasta $x=3$, tenemos que $0 \lt x \lt 3$.

El área del rectángulo $A$ es el producto de su base ($2x$) por su altura ($y$): $$A(x) = (2x) \cdot y$$ Sustituimos la expresión de $y$ obtenida anteriormente: $$A(x) = 2x \left( 4 - \frac{4}{3}x \right) = 8x - \frac{8}{3}x^2$$ Esta es la función que debemos maximizar en el intervalo $(0, 3)$. $$\boxed{A(x) = 8x - \frac{8}{3}x^2}$$

Calculamos la primera derivada de $A(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$A'(x) = 8 - \frac{16}{3}x$$ Igualamos a cero: $$8 - \frac{16}{3}x = 0 \implies 8 = \frac{16}{3}x \implies 24 = 16x \implies x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$$ Para verificar que es un máximo, calculamos la segunda derivada: $$A''(x) = -\frac{16}{3}$$ Como $A''(1.5) \lt 0$, confirmamos que en $x = 1.5$ existe un **máximo relativo**. **Tabla de monotonía:** $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 1.5) & 1.5 & (1.5, 3)\\ \hline A'(x) & + & 0 & -\\ \hline A(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array} $$

Una vez hallado el valor de $x$ que maximiza el área, calculamos las dimensiones totales del rectángulo: 1. **Base del rectángulo:** $$\text{Base} = 2x = 2(1.5) = 3 \text{ metros}$$ 2. **Altura del rectángulo:** $$y = 4 - \frac{4}{3}(1.5) = 4 - 2 = 2 \text{ metros}$$ 3. **Área máxima (opcional):** $$A = 3 \cdot 2 = 6 \text{ m}^2$$ 💡 **Tip:** No olvides que en el enunciado pedían la base total $2x$, no solo el valor de la variable auxiliar $x$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Base} = 3 \text{ m, Altura} = 2 \text{ m}}$$