Optimización de un escudo y cálculo de áreas con integrales

**a) El área del triángulo $T$ en función de la abscisa $x$ del vértice $C$. (2 puntos).** Identificamos las dimensiones del triángulo $T$ a partir de sus vértices: $A(0, 12)$, $B(-x, x^2)$ y $C(x, x^2)$. 1. **Base ($b$):** Los vértices $B$ y $C$ están a la misma altura ($y = x^2$). La base es la distancia horizontal entre ellos: $$b = x - (-x) = 2x$$ 2. **Altura ($h$):** Es la distancia vertical desde el vértice $A(0, 12)$ hasta la base horizontal $y = x^2$: $$h = 12 - x^2$$ La fórmula del área del triángulo es $A = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$. Sustituimos los valores: $$A(x) = \frac{2x \cdot (12 - x^2)}{2} = x(12 - x^2) = 12x - x^3$$ Como $x$ representa la abscisa del vértice $C$ (que está a la derecha del eje $Y$), consideramos $x \gt 0$. Además, el enunciado indica $x^2 \lt 12$, por lo que el dominio es $x \in (0, \sqrt{12})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(x) = 12x - x^3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si los puntos tienen la misma ordenada, la distancia es simplemente la diferencia de sus abscisas en valor absoluto.

**b) Las coordenadas de los vértices $B$ y $C$ para que el área del triángulo $T$ sea máxima. (3 puntos).** Para hallar el máximo de $A(x) = 12x - x^3$, calculamos su primera derivada e igualamos a cero: $$A'(x) = 12 - 3x^2$$ $$12 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \quad (\text{ya que } x \gt 0)$$ Estudiamos el signo de la derivada para confirmar que es un máximo: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 2) & 2 & (2, \sqrt{12}) \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \end{array} $$ Como la función crece antes de $x=2$ y decrece después, existe un **máximo relativo** en $x=2$. También podemos usar la segunda derivada: $$A''(x) = -6x \implies A''(2) = -6(2) = -12 \lt 0$$ Al ser la segunda derivada negativa, confirmamos que en $x=2$ hay un máximo. 💡 **Tip:** Para optimizar, siempre debemos justificar que el valor hallado es realmente un máximo usando el signo de la primera derivada o el valor de la segunda.

Sustituimos $x = 2$ en las expresiones de los vértices $B(-x, x^2)$ y $C(x, x^2)$: - Para el vértice $C$: $x = 2 \implies y = 2^2 = 4$. Por tanto, $C(2, 4)$. - Para el vértice $B$: $x = -2 \implies y = (-2)^2 = 4$. Por tanto, $B(-2, 4)$. El área máxima sería $A(2) = 12(2) - 2^3 = 24 - 8 = 16$ unidades de área. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B = (-2, 4), \quad C = (2, 4)}$$

**c) El área de la superficie $S$. (3 puntos).** La superficie $S$ está limitada por la recta $y = 4$ y la parábola $y = x^2$ en el intervalo $x \in [-2, 2]$. Como en este intervalo $4 \ge x^2$ (la recta está por encima de la parábola), el área se calcula mediante la integral definida: $$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$$ Dado que la función $f(x) = 4 - x^2$ es par (simétrica respecto al eje $Y$), podemos simplificar el cálculo: $$S = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Utilizar la simetría en funciones pares integrando desde $0$ y multiplicando por $2$ suele facilitar mucho los cálculos con la regla de Barrow.

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: $$S = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$$ Sustituimos los límites de integración: $$S = 2 \left( \left[ 4(2) - \frac{2^3}{3} \right] - \left[ 4(0) - \frac{0^3}{3} \right] \right)$$ $$S = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24 - 8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{S = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ u}^2}$$

**d) El área total del escudo. (2 puntos).** El escudo está formado por el triángulo $T$ de área máxima y la superficie $S$ añadida. 1. **Área del triángulo máximo ($A_{max}$):** Ya calculamos que para $x=2$, el área era: $$A(2) = 16 \text{ u}^2$$ 2. **Área de la superficie $S$:** $$S = \frac{32}{3} \text{ u}^2$$ Sumamos ambas cantidades: $$A_{total} = A_{max} + S = 16 + \frac{32}{3}$$ $$A_{total} = \frac{48 + 32}{3} = \frac{80}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A_{total} = \frac{80}{3} \approx 26.67 \text{ u}^2}$$