Posición relativa de recta y plano con parámetros

**a) Todos los valores de $n$ para los que la intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$ es un punto. (4 puntos).** La intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$ se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de ambos. El sistema es: $$\begin{cases} x - 2y - 2z = 1 \\ x + 5y - z = 0 \\ 2x + y + nz = p \end{cases}$$ Para estudiar este sistema, definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A'$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & 5 & -1 \\ 2 & 1 & n \end{pmatrix}, \quad A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & n & p \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius, la intersección será un único punto si el sistema es **Compatible Determinado**, lo que ocurre cuando $\text{rang}(A) = \text{rang}(A') = 3$ (número de incógnitas).

Para que el rango de $A$ sea 3, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & 5 & -1 \\ 2 & 1 & n \end{vmatrix} = [1 \cdot 5 \cdot n + (-2) \cdot (-1) \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 1] - [(-2) \cdot 5 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \cdot n]$$ $$|A| = [5n + 4 - 2] - [-20 - 1 - 2n]$$ $$|A| = 5n + 2 + 21 + 2n = 7n + 23$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$7n + 23 = 0 \implies n = -\frac{23}{7}$$ Si $n \neq -\frac{23}{7}$, entonces $|A| \neq 0$ y $\text{rang}(A) = 3$.

Como hemos visto, si $n \neq -\frac{23}{7}$, el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo. En este caso: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A') = 3 = \text{nº incógnitas}$$ Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es Compatible Determinado y existe una **única solución**, que corresponde geométricamente a un único punto de intersección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \neq -\dfrac{23}{7}}$$

**b) El valor de $n$ y el valor de $p$ para los que la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$. (3 puntos).** Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$, el sistema debe tener infinitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado). Para que esto ocurra, los puntos de la recta (que es una dimensión 1) deben satisfacer la ecuación del plano. Esto sucede si: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A') = 2$$ Primero, para que $\text{rang}(A) = 2$, debe cumplirse que $|A| = 0$, es decir, **$n = -\frac{23}{7}$**. Comprobamos que efectivamente el rango es 2 buscando un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 5 - (-2) = 7 \neq 0$$ Ahora, para que $\text{rang}(A') = 2$, todos los menores de orden 3 de $A'$ deben ser cero. Tomamos el menor que incluye la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & p \end{vmatrix} = 0$$ $$[1 \cdot 5 \cdot p + (-2) \cdot 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [1 \cdot 5 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot p + 0 \cdot 1 \cdot 1] = 0$$ $$5p + 1 - (10 - 2p) = 0 \implies 5p + 1 - 10 + 2p = 0$$ $$7p - 9 = 0 \implies p = \frac{9}{7}$$ 💡 **Tip:** Si el rango de la matriz ampliada fuera igual al de la de coeficientes pero menor al número de incógnitas, la recta y el plano comparten infinitos puntos (la recta está en el plano).

Si $n = -\frac{23}{7}$ y $p = \frac{9}{7}$, entonces $\text{rang}(A) = \text{rang}(A') = 2 < 3$. El sistema es Compatible Indeterminado y la recta está contenida en el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = -\dfrac{23}{7}, \quad p = \dfrac{9}{7}}$$

**c) El valor de $n$ y todos los valores de $p$ para los que la recta $r$ no corta al plano $\pi$. (3 puntos).** Para que la recta no corte al plano, estos deben ser paralelos. Esto ocurre cuando el sistema de ecuaciones es **Incompatible** (no tiene solución). Esto sucede si: $$\text{rang}(A) = 2 \quad \text{y} \quad \text{rang}(A') = 3$$ Como vimos antes: 1. $\text{rang}(A) = 2$ cuando **$n = -\frac{23}{7}$**. 2. $\text{rang}(A') = 3$ cuando el determinante del menor de la matriz ampliada calculado en el paso anterior es distinto de cero: $$7p - 9 \neq 0 \implies p \neq \frac{9}{7}$$ 💡 **Tip:** Geométricamente, si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano, la recta es paralela al plano o está contenida en él. El valor de $p$ distingue ambos casos.

Por tanto, para que no haya intersección (paralelismo estricto): ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = -\dfrac{23}{7}, \quad p \neq \dfrac{9}{7}}$$