Sistemas de ecuaciones y propiedades de los determinantes

**a) Todas las soluciones $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ de la ecuación $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$. (4 puntos).** Primero, escribimos el sistema en su forma matricial $AX = B$ e identificamos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $(A|B)$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus para comprobar si el sistema es determinado: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 1\cdot 1) + (0\cdot 3\cdot 1) + (2\cdot 1\cdot (-1)) - [ (1\cdot 1\cdot 2) + ((-1)\cdot 3\cdot 1) + (1\cdot 1\cdot 0) ]$$ $$|A| = (1 + 0 - 2) - (2 - 3 + 0) = -1 - (-1) = 0$$ Como el determinante es **$|A| = 0$**, el sistema no es compatible determinado. Debemos estudiar el rango para aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius.

Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada $(A|B)$ orlando con los términos independientes: $$(A|B) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Probamos con el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (-1 + 0 - 1) - (1 - 3 + 0) = -2 - (-2) = 0$$ Dado que todas las combinaciones posibles de menores de orden 3 son nulas (la tercera fila es combinación de las otras dos), el **$\text{rango}(A|B) = 2$**. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A|B) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz principal es cero, el sistema puede ser incompatible o compatible indeterminado. Siempre verifica el rango de la ampliada.

Para resolverlo, seleccionamos las dos ecuaciones linealmente independientes (las que formaban nuestro menor de orden 2 no nulo) y pasamos una incógnita al otro miembro como parámetro. Usaremos $z = \lambda$: 1) $x + 2z = 1$ 2) $x + y + 3z = 3$ De la primera ecuación: $$x = 1 - 2\lambda$$ Sustituimos en la segunda: $$(1 - 2\lambda) + y + 3\lambda = 3 \implies y + \lambda = 2 \implies y = 2 - \lambda$$ Las soluciones de la ecuación matricial son: $$\boxed{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2\lambda \\ 2 - \lambda \\ \lambda \end{pmatrix}, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) El determinante de una matriz cuadrada $B$ de dos filas, que tiene matriz inversa y que verifica la ecuación $B^2 = B$. (3 puntos).** Sabemos que $B$ tiene matriz inversa, lo cual implica que su determinante es distinto de cero: **$|B| \neq 0$**. Partimos de la ecuación dada $B^2 = B$ y aplicamos la propiedad de los determinantes que dice que el determinante de un producto es el producto de los determinantes ($|M\cdot N| = |M|\cdot|N|$): $$|B^2| = |B| \implies |B\cdot B| = |B| \implies |B|^2 = |B|$$ Esto nos da una ecuación escalar: $$|B|^2 - |B| = 0 \implies |B| \cdot (|B| - 1) = 0$$ Las soluciones posibles para el determinante son $|B| = 0$ o $|B| = 1$. Dado que el enunciado afirma que $B$ tiene inversa, descartamos la opción cero. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|B| = 1}$$

**c) El determinante de una matriz cuadrada $A$ que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación: $A^2 - 9 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ sabiendo además que el determinante de $A$ es positivo. (3 puntos).** La ecuación matricial dada se puede escribir como: $$A^2 - 9I = 0 \implies A^2 = 9I$$ Donde $I$ es la matriz identidad de orden 4. Aplicamos determinantes en ambos lados de la igualdad: $$|A^2| = |9I| \implies |A|^2 = |9I|$$ Usamos la propiedad $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$, donde $n$ es el orden de la matriz (en este caso $n=4$ filas) y $k$ es un escalar: $$|9I| = 9^4 \cdot |I| = 9^4 \cdot 1 = 6561$$ Entonces tenemos: $$|A|^2 = 9^4 \implies |A| = \pm \sqrt{9^4} = \pm 9^2 = \pm 81$$ Como el enunciado especifica que el determinante de $A$ es positivo ($|A| > 0$): ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = 81}$$