Estudio de mínimos, recta tangente e integral de una función logarítmica

**a) El valor de $x$ donde la función $f$ alcanza el mínimo relativo. (4 puntos).** Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = 4x \ln x$ utilizando la regla del producto: $$f'(x) = (4x)' \cdot \ln x + 4x \cdot (\ln x)'$$ $$f'(x) = 4 \cdot \ln x + 4x \cdot \frac{1}{x} = 4 \ln x + 4$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$4 \ln x + 4 = 0 \implies 4 \ln x = -4 \implies \ln x = -1$$ Aplicando la definición de logaritmo ($e^{\ln x} = e^{-1}$): $$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y que $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Para confirmar que en $x = \frac{1}{e}$ existe un mínimo relativo, estudiamos el signo de la primera derivada $f'(x) = 4(\ln x + 1)$ a ambos lados del punto crítico. El dominio de la función es $(0, +\infty)$. $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 1/e) & 1/e & (1/e, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array} $$ - Si $0 < x < \frac{1}{e}$, entonces $\ln x < -1$, por lo que $f'(x) < 0$ (la función decrece). - Si $x > \frac{1}{e}$, entonces $\ln x > -1$, por lo que $f'(x) > 0$ (la función crece). Al pasar de decreciente a creciente, existe un mínimo relativo en $x = \frac{1}{e}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{1}{e}}$$

**b) La ecuación de la recta tangente a la curva $y = 4x \ln x$ en el punto $(1, 0)$. (3 puntos).** La ecuación de la recta tangente en un punto $(x_0, y_0)$ viene dada por: $$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$ En este caso, el punto es $(1, 0)$, por lo que $x_0 = 1$ y $y_0 = 0$. Necesitamos calcular la pendiente $m = f'(1)$: $$f'(1) = 4 \ln(1) + 4 = 4 \cdot 0 + 4 = 4$$ Sustituimos en la fórmula: $$y - 0 = 4(x - 1) \implies y = 4x - 4$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada de la función en la abscisa de dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 4x - 4}$$

**c) El área limitada entre las rectas $y = 0$, $x = e$ y $x = e^2$ y la curva $y = 4x \ln x$. (3 puntos).** El área viene dada por la integral definida de la función entre los límites $x=e$ y $x=e^2$. Primero comprobamos si la función corta al eje $X$ ($y=0$) en ese intervalo: $$4x \ln x = 0 \implies x=0 \text{ (no en dominio) o } \ln x = 0 \implies x=1$$ Como el intervalo es $[e, e^2]$ y $e \approx 2.718$, la función no corta al eje en el intervalo. Además, para $x \ge e$, $f(x)$ es siempre positiva. Por tanto, el área $A$ es: $$A = \int_{e}^{e^2} 4x \ln x \, dx$$ Integreremos por partes: - $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = 4x \, dx \implies v = 2x^2$ 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Calculamos la integral indefinida: $$\int 4x \ln x \, dx = 2x^2 \ln x - \int 2x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = 2x^2 \ln x - \int 2x \, dx = 2x^2 \ln x - x^2$$ Ahora aplicamos la Regla de Barrow entre $e$ y $e^2$: $$A = \left[ 2x^2 \ln x - x^2 \right]_{e}^{e^2} = \left( 2(e^2)^2 \ln(e^2) - (e^2)^2 \right) - \left( 2e^2 \ln e - e^2 \right)$$ $$A = (2e^4 \cdot 2 - e^4) - (2e^2 \cdot 1 - e^2)$$ $$A = (4e^4 - e^4) - (2e^2 - e^2) = 3e^4 - e^2$$ Podemos expresar el resultado final de forma exacta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 3e^4 - e^2 \text{ u}^2}$$