Intersección de rectas, plano que las contiene y distancia

**a) Las coordenadas del punto de corte de $r_1$ y $r_2$. (3 puntos).** Para encontrar el punto de corte de las dos rectas, igualamos sus ecuaciones paramétricas. Buscamos valores de $\alpha$ y $\beta$ que satisfagan simultáneamente las tres coordenadas: $$\begin{cases} 1 + 2\alpha = -1 \quad \text{(coordenada } x\text{)} \\ \alpha = 1 + \beta \quad \text{(coordenada } y\text{)} \\ 2 - \alpha = -1 - 2\beta \quad \text{(coordenada } z\text{)} \end{cases}$$ De la primera ecuación, despejamos $\alpha$: $$1 + 2\alpha = -1 \implies 2\alpha = -2 \implies \alpha = -1.$$ Sustituimos el valor de $\alpha$ en la segunda ecuación para hallar $\beta$: $$-1 = 1 + eta \implies \beta = -2.$$ 💡 **Tip:** Siempre debemos comprobar los valores obtenidos en la tercera ecuación para asegurar que las rectas realmente se cortan y no se cruzan.

Comprobamos si $\alpha = -1$ y $\beta = -2$ cumplen la ecuación de la coordenada $z$: $$2 - (-1) = 3$$ $$-1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3$$ Como $3 = 3$, el sistema es compatible y las rectas se cortan. Para hallar el punto $P$, sustituimos $\alpha = -1$ en las ecuaciones de $r_1$: $$x = 1 + 2(-1) = -1$$ $$y = -1$$ $$z = 2 - (-1) = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(-1, -1, 3)}$$

**b) La ecuación del plano que contiene esas dos rectas. (4 puntos).** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos. Como el plano contiene a $r_1$ y $r_2$, podemos usar: - El punto de corte hallado: $P(-1, -1, 3)$. - El vector director de $r_1$: $\vec{v_1} = (2, 1, -1)$. - El vector director de $r_2$: $\vec{v_2} = (0, 1, -2)$. La ecuación general del plano $\pi$ se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - (-1) & y - (-1) & z - 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila: $$(x+1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - (y+1) \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} + (z-3) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x+1)(-2 - (-1)) - (y+1)(-4 - 0) + (z-3)(2 - 0) = 0$$ $$-(x+1) + 4(y+1) + 2(z-3) = 0$$

Expandimos los términos y simplificamos: $$-x - 1 + 4y + 4 + 2z - 6 = 0$$ $$-x + 4y + 2z - 3 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más habitual: $$x - 4y - 2z + 3 = 0$$ 💡 **Tip:** Para verificar el resultado, comprueba que el punto de corte $P$ y otro punto cualquiera de las rectas (por ejemplo, el $(-1, 1, -1)$ de $r_2$) cumplen la ecuación. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - 4y - 2z + 3 = 0}$$

**c) La distancia del punto $(0, 0, 1)$ a la recta $r_2$. (3 puntos).** Llamemos $Q(0, 0, 1)$ al punto dado. Para hallar la distancia a $r_2$, utilizaremos el método del plano auxiliar perpendicular a la recta. 1. Hallamos el plano $\pi'$ que pasa por $Q$ y es perpendicular a $r_2$. El vector normal de este plano será el vector director de la recta $\vec{v_2} = (0, 1, -2)$: $$\pi': 0(x - 0) + 1(y - 0) - 2(z - 1) = 0 \implies y - 2z + 2 = 0$$ 2. Buscamos el punto de intersección $M$ entre la recta $r_2$ y el plano $\pi'$. Sustituimos las paramétricas de $r_2$ en $\pi'$: $$(1 + \beta) - 2(-1 - 2\beta) + 2 = 0$$ $$1 + \beta + 2 + 4\beta + 2 = 0 \implies 5\beta + 5 = 0 \implies \beta = -1$$ Sustituyendo $\beta = -1$ en $r_2$ obtenemos el punto $M$: $$x = -1, \quad y = 1 + (-1) = 0, \quad z = -1 - 2(-1) = 1 \implies M(-1, 0, 1)$$ 3. La distancia buscada es el módulo del vector $\vec{QM}$: $$\vec{QM} = M - Q = (-1 - 0, 0 - 0, 1 - 1) = (-1, 0, 0)$$ $$d(Q, r_2) = |\vec{QM}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{1 \text{ unidad de distancia}}$$