Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a) La solución del sistema $S$ cuando $\alpha = 0$. (3 puntos).** Sustituimos $\alpha = 0$ en el sistema original: $$S_{\alpha=0}: \begin{cases} 2x + 0z = 5 \\ x + (1 - 0)y + z = 1 \\ x + 2y + 0z = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x = 5 \\ x + y + z = 1 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$$ De la primera ecuación, despejamos $x$ directamente: $$2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}$$ Sustituimos $x$ en la tercera ecuación para hallar $y$: $$\frac{5}{2} + 2y = 1 \implies 2y = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \implies y = -\frac{3}{4}$$ Finalmente, sustituimos $x$ e $y$ en la segunda ecuación para hallar $z$: $$\frac{5}{2} - \frac{3}{4} + z = 1 \implies \frac{10}{4} - \frac{3}{4} + z = 1 \implies \frac{7}{4} + z = 1 \implies z = 1 - \frac{7}{4} = -\frac{3}{4}$$ 💡 **Tip:** Cuando una de las ecuaciones tiene una sola incógnita, es más rápido resolver por sustitución directa que aplicar otros métodos como Cramer o Gauss. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{5}{2}, \ y = -\frac{3}{4}, \ z = -\frac{3}{4}}$$

**b) Todas las soluciones del sistema $S$ cuando $\alpha = -1$. (4 puntos).** Sustituimos $\alpha = -1$ en las matrices del sistema $A \cdot X = B$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & (-1)^2 \\ 1 & 1-(-1) & 1 \\ 1 & 2 & (-1)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 2 y 3 de $A$ y de $A^*$ son idénticas, lo que indica que el determinante de $A$ será $0$ y el rango será menor que $3$. Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Como la fila 2 y la fila 3 de la matriz ampliada $A^*$ son iguales ($1x + 2y + 1z = 1$), el rango de $A^*$ también es 2. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt n$ (donde $n=3$ incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). 💡 **Tip:** Si dos filas de la matriz ampliada son iguales, el sistema o es compatible indeterminado o tiene información redundante que podemos eliminar.

Eliminamos la tercera ecuación por ser redundante y tomamos $z = \lambda$ como parámetro: $$\begin{cases} 2x + z = 5 \\ x + 2y + z = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x = 5 - \lambda \\ x + 2y = 1 - \lambda \end{cases}$$ De la primera ecuación: $$x = \frac{5 - \lambda}{2}$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $$\frac{5 - \lambda}{2} + 2y = 1 - \lambda \implies 2y = 1 - \lambda - \frac{5 - \lambda}{2}$$ $$2y = \frac{2 - 2\lambda - 5 + \lambda}{2} = \frac{-3 - \lambda}{2} \implies y = \frac{-3 - \lambda}{4}$$ ✅ **Resultado (Soluciones infinitas):** $$\boxed{\begin{cases} x = \frac{5 - \lambda}{2} \\ y = -\frac{3 + \lambda}{4} \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) El valor de $\alpha$ para el que el sistema $S$ es incompatible. (3 puntos).** Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ en función de $\alpha$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & \alpha^2 \\ 1 & 1-\alpha & 1 \\ 1 & 2 & \alpha^2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [2 \cdot (1-\alpha) \cdot \alpha^2 + 0 \cdot 1 \cdot 1 + \alpha^2 \cdot 1 \cdot 2] - [\alpha^2 \cdot (1-\alpha) \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \cdot \alpha^2]$$ $$|A| = (2\alpha^2 - 2\alpha^3 + 2\alpha^2) - (\alpha^2 - \alpha^3 + 4)$$ $$|A| = -2\alpha^3 + 4\alpha^2 - \alpha^2 + \alpha^3 - 4 = -\alpha^3 + 3\alpha^2 - 4$$ Buscamos los valores de $\alpha$ que anulan el determinante $|A| = 0$: $$-\alpha^3 + 3\alpha^2 - 4 = 0$$ Probando divisores del término independiente, vemos que $\alpha = -1$ es raíz (comprobado en el apartado b). Aplicando Ruffini o división polinómica: $$-\alpha^3 + 3\alpha^2 - 4 = -(\alpha + 1)(\alpha - 2)^2$$ Los valores críticos son **$\alpha = -1$** y **$\alpha = 2$**.

Para que el sistema sea incompatible, necesitamos que $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$. Ya sabemos por el apartado b) que si $\alpha = -1$, el sistema es Compatible Indeterminado. Analizamos **$\alpha = 2$**: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 1 \end{array}\right)$$ En $A$, el menor $\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 2$. Calculamos el determinante de una submatriz $3 \times 3$ de $A^*$ que contenga a la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-2 + 0 + 10) - (-5 + 4 + 0) = 8 - (-1) = 9 \neq 0$$ Como este determinante es distinto de cero, el **$\text{rango}(A^*) = 3$**. Dado que $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 2}$$