Optimización del coste de un depósito cilíndrico

**a) El área de la base en función de su radio $x$. (1 punto).** El depósito tiene una base circular de radio $x$. El área de un círculo viene dada por la fórmula estándar $A = \pi \cdot r^2$. En este caso, sustituyendo $r$ por $x$: $$A_{base}(x) = \pi x^2$$ Donde $x$ se expresa en metros ($m$) y el área en metros cuadrados ($m^2$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{A_{base}(x) = \pi x^2}$$

**b) El área de la pared vertical del cilindro en función de $x$. (2 puntos).** Para calcular el área de la pared vertical (área lateral), necesitamos conocer la altura $h$ del cilindro. Sabemos que el volumen $V$ de un cilindro es el área de la base por la altura: $$V = A_{base} \cdot h = \pi x^2 h$$ El enunciado indica que el volumen debe ser de $100\text{ m}^3$, por lo que: $$100 = \pi x^2 h \implies h = \frac{100}{\pi x^2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con varias variables, siempre usamos los datos fijos (como el volumen) para despejar una variable en función de la otra.

El área de la pared vertical (superficie lateral de un cilindro) es el perímetro de la base por la altura: $$A_{lateral} = 2\pi x \cdot h$$ Sustituimos la expresión de $h$ que hallamos anteriormente: $$A_{lateral}(x) = 2\pi x \cdot \left( \frac{100}{\pi x^2} \right)$$ Simplificamos los términos $\pi$ y $x$: $$A_{lateral}(x) = \frac{200}{x}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A_{lateral}(x) = \dfrac{200}{x}}$$

**c) La función $f(x)$ que da el coste del depósito. (2 puntos).** El coste total es la suma del coste de la base y el coste de la pared lateral. - Coste de la base: $Área \times Precio = \pi x^2 \cdot 4$ - Coste lateral: $Área \times Precio = \frac{200}{x} \cdot 2$ Sumamos ambas partes para obtener $f(x)$: $$f(x) = 4\pi x^2 + \frac{400}{x}$$ Definimos el dominio físico del problema: como $x$ es un radio, debe cumplirse $x \gt 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) = 4\pi x^2 + \dfrac{400}{x}}$$

**d) El valor $x$ del radio de la base para el que el coste del depósito es mínimo y el valor de dicho coste mínimo. (5 puntos).** Para minimizar el coste, calculamos la primera derivada de $f(x)$ e igualamos a cero: $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 4\pi x^2 + 400x^{-1} \right) = 8\pi x - 400x^{-2}$$ $$f'(x) = 8\pi x - \frac{400}{x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$8\pi x - \frac{400}{x^2} = 0 \implies 8\pi x = \frac{400}{x^2}$$ $$8\pi x^3 = 400 \implies x^3 = \frac{400}{8\pi} = \frac{50}{\pi}$$ $$x = \sqrt[3]{\frac{50}{\pi}}$$ Valor aproximado: $x \approx 2.515 \text{ m}$.

Para confirmar que es un mínimo, usamos la segunda derivada: $$f''(x) = 8\pi + \frac{800}{x^3}$$ Como $x \gt 0$, entonces $f''(x)$ siempre será positiva ($f''(x) \gt 0$), lo que garantiza que tenemos un **mínimo relativo**. Calculamos el valor del coste mínimo sustituyendo $x = \sqrt[3]{\frac{50}{\pi}}$ en $f(x)$: $$f\left(\sqrt[3]{\frac{50}{\pi}}\right) = 4\pi \left(\frac{50}{\pi}\right)^{2/3} + \frac{400}{\sqrt[3]{50/\pi}}$$ Podemos simplificar usando que $4\pi x^2 = 4\pi \frac{x^3}{x} = 4\pi \frac{50/\pi}{x} = \frac{200}{x}$: $$f(x_{min}) = \frac{200}{x} + \frac{400}{x} = \frac{600}{x}$$ $$f(x_{min}) = \frac{600}{\sqrt[3]{50/\pi}} = 600 \sqrt[3]{\frac{\pi}{50}} \approx 238.54 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \sqrt[3]{\dfrac{50}{\pi}} \approx 2.515 \text{ m}; \quad \text{Coste} \approx 238.54 \text{ €}}$$