Intersección de planos, rectas y parámetros

**a) Un punto, el vector director y las ecuaciones de la recta $r$. (3 puntos).** La recta $r$ viene definida por la intersección de los planos $\pi$ y $\sigma$. Su vector director $\vec{v}_r$ se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales a ambos planos: $\vec{n}_\pi = (2, -1, 1)$ y $\vec{n}_\sigma = (1, -1, 1)$. Calculamos el determinante paso a paso: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi \times \vec{n}_\sigma = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-1) + \vec{j}(1) + \vec{k}(-2) - [\vec{k}(-1) + \vec{i}(-1) + \vec{j}(2)]$$ $$\vec{v}_r = -\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} + \vec{k} + \vec{i} - 2\vec{j} = 0\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}$$ Por tanto, el vector director es $\vec{v}_r = (0, -1, -1)$. Para simplificar los cálculos, podemos usar su opuesto: $$\vec{v}_r = (0, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

Para hallar un punto $P_r$ de la recta, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de los planos $\pi$ y $\sigma$ fijando una de las coordenadas: $$\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$$ Si restamos la segunda ecuación a la primera: $$(2x - x) + (-y + y) + (z - z) = 3 - 2 \implies x = 1$$ Sustituyendo $x = 1$ en la segunda ecuación: $$1 - y + z = 2 \implies z - y = 1 \implies y = z - 1$$ Si hacemos $z = 0$, obtenemos $y = -1$. Así, un punto de la recta es: $$\boxed{P_r(1, -1, 0)}$$ Con el punto $P_r(1, -1, 0)$ y el vector $\vec{v}_r(0, 1, 1)$, escribimos las **ecuaciones paramétricas**: $$\boxed{r: \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}}$$ La **ecuación continua** sería: $$\boxed{r: \frac{x-1}{0} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{1}}$$ *(Nota: el denominador 0 indica que la coordenada $x$ es constante)*.

**b) La ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y pasa por el punto $(2, 1, 3)$. (4 puntos).** Utilizaremos el concepto de **haz de planos** que pasan por la recta $r$. El haz de planos se construye combinando linealmente las ecuaciones de los planos $\pi$ y $\sigma$: $$\alpha(2x - y + z - 3) + \beta(x - y + z - 2) = 0$$ Como el punto $Q(2, 1, 3)$ debe pertenecer al plano buscado, sustituimos sus coordenadas en la ecuación del haz: $$\alpha(2(2) - 1 + 3 - 3) + \beta(2 - 1 + 3 - 2) = 0$$ $$\alpha(4 - 1) + \beta(2) = 0 \implies 3\alpha + 2\beta = 0$$ Podemos elegir valores para $\alpha$ y $\beta$ que cumplan la relación, por ejemplo: **$\alpha = 2$** y **$\beta = -3$**. 💡 **Tip:** El haz de planos es la forma más rápida de encontrar un plano que contiene a una recta definida como intersección de otros dos planos.

Sustituimos los valores de $\alpha$ y $\beta$ en la ecuación del haz: $$2(2x - y + z - 3) - 3(x - y + z - 2) = 0$$ Desarrollamos los paréntesis: $$4x - 2y + 2z - 6 - 3x + 3y - 3z + 6 = 0$$ Agrupamos términos semejantes: $$(4-3)x + (-2+3)y + (2-3)z + (-6+6) = 0$$ $$x + y - z = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y - z = 0}$$

**c) Los valores de $a$ y de $b$ para que el plano $\tau$ contenga a la recta $r$, intersección de los planos $\pi$ y $\sigma$. (3 puntos).** Para que el plano $\tau: 3x - y - az = b$ contenga a la recta $r$, cualquier punto genérico de la recta debe satisfacer la ecuación del plano. Utilizamos las ecuaciones paramétricas halladas en el apartado (a): $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Sustituimos en la ecuación de $\tau$: $$3(1) - (-1 + \lambda) - a(\lambda) = b$$ $$3 + 1 - \lambda - a\lambda = b$$ $$4 - (1 + a)\lambda = b$$ Para que esta igualdad sea cierta para cualquier valor de $\lambda$ (es decir, para todos los puntos de la recta), los coeficientes deben coincidir a ambos lados: - El coeficiente de $\lambda$ debe ser cero: $-(1 + a) = 0 \implies \mathbf{a = -1}$ - El término independiente debe ser igual a $b$: $\mathbf{4 = b}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1, \quad b = 4}$$