Ecuaciones matriciales y propiedades de potencias

**a) Los números reales $a$ y $b$ tales que $A^2 = aA + bU$. (4 puntos).** En primer lugar, calculamos el cuadrado de la matriz $A$ multiplicándola por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) + (-1)(1) & (1)(-1) + (-1)(1) \\ (1)(1) + (1)(1) & (1)(-1) + (1)(1) \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 - 1 & -1 - 1 \\ 1 + 1 & -1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora planteamos la igualdad $A^2 = aA + bU$ utilizando las matrices dadas: $$\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos las filas de la primera por las columnas de la segunda.

Operamos en el lado derecho de la ecuación para obtener una única matriz: $$\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -a \\ a & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b & -a \\ a & a + b \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, deben ser iguales elemento a elemento. Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1. $0 = a + b$ 2. $-2 = -a$ 3. $2 = a$ 4. $0 = a + b$ De la ecuación (2) u (3) obtenemos directamente que **$a = 2$**. Sustituyendo este valor en la ecuación (1): $$2 + b = 0 \implies b = -2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2, \quad b = -2}$$

**b) Los números reales $p$ y $q$ tales que $B^{-1} = pB + qU$ (2 puntos), justificando que la matriz $B$ tiene inversa (2 puntos).** Partimos de la relación dada: $B^2 = -7B + U$. Para justificar que $B$ es invertible, intentaremos despejar la matriz identidad $U$: $$U = B^2 + 7B$$ Podemos sacar factor común la matriz $B$ (por la izquierda o por la derecha, ya que $B$ conmuta con sus propias potencias y con la identidad): $$U = B(B + 7U) = (B + 7U)B$$ Por la definición de matriz inversa, si existe una matriz $C$ tal que $B \cdot C = U$ y $C \cdot B = U$, entonces $B$ es invertible y $B^{-1} = C$. En este caso, la matriz $C = B + 7U$ cumple dicha condición. Alternativamente, si calculamos el determinante en la relación $U = B(B+7U)$: $$|U| = |B(B+7U)| \implies 1 = |B| \cdot |B+7U|$$ Como el producto de los determinantes es $1$, entonces $|B| \neq 0$, lo que garantiza que **$B$ tiene inversa**. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada es invertible si existe otra matriz que al multiplicarla nos da la identidad, o equivalentemente, si su determinante es distinto de cero.

A partir de la expresión obtenida en el paso anterior: $$B^{-1} = B + 7U$$ Queremos encontrar $p$ y $q$ tales que $B^{-1} = pB + qU$. Comparando ambas expresiones término a término: $$pB + qU = 1 \cdot B + 7 \cdot U$$ Por lo tanto, obtenemos directamente los valores de los parámetros: $$p = 1, \quad q = 7$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{p = 1, \quad q = 7}$$

**c) Obtener los valores $x$ e $y$ para los que se verifica que $B^3 = xB + yU$. (2 puntos).** Para calcular $B^3$, multiplicamos la relación original $B^2 = -7B + U$ por la matriz $B$: $$B^3 = B \cdot B^2 = B(-7B + U)$$ $$B^3 = -7B^2 + B$$ Ahora, sustituimos nuevamente el valor de $B^2$ que conocemos por el enunciado: $$B^3 = -7(-7B + U) + B$$ $$B^3 = 49B - 7U + B$$ $$B^3 = (49 + 1)B - 7U$$ $$B^3 = 50B - 7U$$ Comparando con la expresión pedida $B^3 = xB + yU$, identificamos los coeficientes: $$x = 50, \quad y = -7$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 50, \quad y = -7}$$