Estudio de funciones, intersección y área entre curvas

**a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de esas dos funciones. (2 puntos).** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de $f(x) = -x^2 + 2x$, calculamos su primera derivada: $$f'(x) = -2x + 2$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-2x + 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array} $$ 💡 **Tip:** Una función es creciente donde su primera derivada es positiva ($f'(x) \gt 0$) y decreciente donde es negativa ($f'(x) \lt 0$). Concluimos que para $f(x)$: - Es **creciente** en el intervalo **$(-\infty, 1)$**. - Es **decreciente** en el intervalo **$(1, +\infty)$**.

Realizamos el mismo procedimiento para $g(x) = x^2$. Calculamos su derivada: $$g'(x) = 2x$$ Igualamos a cero para hallar puntos críticos: $$2x = 0 \implies x = 0$$ Analizamos el signo de $g'(x)$ en la recta real: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline g'(x) & - & 0 & + \\ \hline g(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ Concluimos que para $g(x)$: - Es **decreciente** en el intervalo **$(-\infty, 0)$**. - Es **creciente** en el intervalo **$(0, +\infty)$**. $$\boxed{\begin{aligned} f: \text{Crec } (-\infty, 1), \text{Decr } (1, +\infty) \\ g: \text{Crec } (0, +\infty), \text{Decr } (-\infty, 0) \end{aligned}}$$

**b) El máximo relativo de la función $f(x) = -x^2 + 2x$ y el mínimo relativo de $g(x) = x^2$. (2 puntos).** Utilizando los resultados del apartado anterior: 1. Para **$f(x)$**, el cambio de crecimiento a decrecimiento en $x=1$ indica un máximo relativo. Calculamos su imagen: $$f(1) = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$$ El máximo relativo de $f$ se encuentra en el punto **$(1, 1)$**. 2. Para **$g(x)$**, el cambio de decrecimiento a crecimiento en $x=0$ indica un mínimo relativo. Calculamos su imagen: $$g(0) = (0)^2 = 0$$ El mínimo relativo de $g$ se encuentra en el punto **$(0, 0)$**. 💡 **Tip:** También podemos usar la segunda derivada. Si $f''(x_0) \lt 0$ es un máximo; si $f''(x_0) \gt 0$ es un mínimo. Aquí $f''(x)=-2$ (Máx) y $g''(x)=2$ (Mín). $$\boxed{\text{Máximo } f: (1, 1), \quad \text{Mínimo } g: (0, 0)}$$

**c) Los puntos de intersección de las curvas $y = -x^2 + 2x$ e $y = x^2$. (2 puntos).** Para hallar los puntos donde se cortan las gráficas, igualamos ambas funciones: $$-x^2 + 2x = x^2$$ Llevamos todos los términos a un lado de la igualdad: $$2x^2 - 2x = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$2x(x - 1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones para la abscisa $x$: - $2x = 0 \implies x_1 = 0$ - $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$ Calculamos las ordenadas correspondientes usando $y = x^2$: - Si $x_1 = 0 \implies y_1 = 0^2 = 0 \implies P_1(0, 0)$ - Si $x_2 = 1 \implies y_2 = 1^2 = 1 \implies P_2(1, 1)$ $$\boxed{\text{Puntos de corte: } (0, 0) \text{ y } (1, 1)}$$

**d) El área encerrada entre las curvas $y = -x^2 + 2x$ e $y = x^2$, donde en ambas curvas la $x$ varía entre 0 y 1. (4 puntos).** El área entre dos curvas se define como la integral del valor absoluto de su diferencia: $$A = \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| \, dx$$ Determinamos cuál función está por encima en el intervalo $(0, 1)$. Tomamos un punto de prueba, por ejemplo $x = 0.5$: - $f(0.5) = -0.5^2 + 2(0.5) = -0.25 + 1 = 0.75$ - $g(0.5) = 0.5^2 = 0.25$ Como $f(0.5) \gt g(0.5)$, entonces $f(x) \ge g(x)$ en todo el intervalo $[0, 1]$. La función a integrar es: $$f(x) - g(x) = (-x^2 + 2x) - (x^2) = -2x^2 + 2x$$ 💡 **Tip:** El área siempre es positiva. Si al integrar obtienes un valor negativo, es posible que hayas restado las funciones en el orden inverso (inferior menos superior).

Calculamos la integral definida aplicando la Regla de Barrow: $$A = \int_{0}^{1} (-2x^2 + 2x) \, dx$$ Primero hallamos la primitiva: $$\int (-2x^2 + 2x) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} = -\frac{2x^3}{3} + x^2$$ Ahora evaluamos en los límites: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{1}$$ $$A = \left( -\frac{2(1)^3}{3} + (1)^2 \right) - \left( -\frac{2(0)^3}{3} + (0)^2 \right)$$ $$A = \left( -\frac{2}{3} + 1 \right) - 0 = \frac{1}{3}$$ El área es de $\frac{1}{3}$ unidades cuadradas. $$\boxed{A = \dfrac{1}{3} u^2}$$