Geometría en el espacio: Recta y plano con parámetros

**a) Un vector director de la recta $r$. (2 puntos).** La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos. El vector director de la recta, $\vec{v}_r$, se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales de ambos planos, $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$. Identificamos los vectores normales de los planos que definen $r$: - Plano 1 ($x + y - z = 1$): $\vec{n}_1 = (1, 1, -1)$ - Plano 2 ($x - y - z = 0$): $\vec{n}_2 = (1, -1, -1)$ Calculamos el producto vectorial mediante el desarrollo del determinante: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{v}_r = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = \vec{i}(-1 - 1) - \vec{j}(-1 - (-1)) + \vec{k}(-1 - 1)$$ $$\vec{v}_r = -2\vec{i} + 0\vec{j} - 2\vec{k} = (-2, 0, -2)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $-2$ para obtener un vector proporcional más sencillo: $$\vec{v}_r = (1, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al obtenido también es un vector director válido para la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{v}_r = (1, 0, 1)}$$

**b) El valor de $m$ para el que la recta $r$ y el plano $\pi$ son perpendiculares. (2 puntos).** Para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Dados: - $\vec{v}_r = (1, 0, 1)$ - Plano $\pi: x + mz = 0 \implies \vec{n}_\pi = (1, 0, m)$ Dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales: $$\frac{1}{1} = \frac{0}{0} = \frac{1}{m}$$ De la igualdad $\frac{1}{1} = \frac{1}{m}$, obtenemos: $$1 = \frac{1}{m} \implies m = 1$$ 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, la dirección de la recta coincide con la dirección normal del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 1}$$

**c) El valor de $m$ para el que la recta $r$ y el plano $\pi$ son paralelos. (3 puntos).** Para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$, se deben cumplir dos condiciones: 1. El vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. 2. Ningún punto de la recta debe pertenecer al plano (para asegurar que no esté contenida). **1. Perpendicularidad de vectores ($\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$):** $$(1, 0, 1) \cdot (1, 0, m) = 1(1) + 0(0) + 1(m) = 1 + m$$ Igualamos a cero: $$1 + m = 0 \implies m = -1$$ **2. Comprobación de que la recta no está contenida:** Buscamos un punto $P$ de la recta $r$. Si sumamos las dos ecuaciones de $r$: $$(x + y - z) + (x - y - z) = 1 + 0 \implies 2x - 2z = 1$$ Si fijamos $z = 0$, entonces $x = 1/2$. Sustituyendo en $x - y - z = 0$: $1/2 - y - 0 = 0 \implies y = 1/2$. El punto es $P(1/2, 1/2, 0)$. Sustituimos $P$ en el plano $\pi$ con $m = -1$: $$\pi: x - z = 0 \implies 1/2 - 0 = 1/2 \neq 0$$ Como el punto no satisface la ecuación del plano, la recta es paralela y no está contenida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -1}$$

**d) La distancia entre $r$ y $\pi$ cuando se da a $m$ el valor obtenido en el apartado c). (3 puntos).** Cuando una recta es paralela a un plano, la distancia entre ellos es igual a la distancia de cualquier punto $P$ de la recta al plano $\pi$. Tenemos: - Punto de la recta $r$: $P(1/2, 1/2, 0)$ - Plano $\pi$ (con $m = -1$): $x - z = 0$ Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(r, \pi) = \frac{|1 \cdot (1/2) + 0 \cdot (1/2) + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|1/2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$ Racionalizamos el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la recta estuviera contenida en el plano, la distancia sería $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0.3536}$$