Sistema de ecuaciones lineales con parámetros

Observamos que se trata de un **sistema de ecuaciones lineal homogéneo** (los términos independientes son todos cero). Este tipo de sistemas siempre son compatibles, ya que al menos tienen la solución trivial $x=0, y=0, z=0$. Para discutir el sistema según el parámetro $\alpha$, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 3 & 10 & -1 \\ 1 & 14 & \alpha \end{pmatrix}$$ Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 3 & 10 & -1 \\ 1 & 14 & \alpha \end{vmatrix} = (1 \cdot 10 \cdot \alpha) + (-2 \cdot -1 \cdot 1) + (-3 \cdot 3 \cdot 14) - [(-3 \cdot 10 \cdot 1) + (-2 \cdot 3 \cdot \alpha) + (1 \cdot -1 \cdot 14)]$$ $$|A| = 10\alpha + 2 - 126 - [-30 - 6\alpha - 14] = 10\alpha - 124 + 44 + 6\alpha = 16\alpha - 80.$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo es Compatible Determinado (solución única trivial) si $|A| \neq 0$ y Compatible Indeterminado (infinitas soluciones) si $|A| = 0$.

**a) La solución del sistema $S$ cuando $\alpha = 0$. (4 puntos).** Si $\alpha = 0$, sustituimos en el determinante calculado anteriormente: $$|A| = 16(0) - 80 = -80.$$ Como $|A| \neq 0$, el rango de la matriz de coeficientes es $rg(A) = 3$. Como el sistema es homogéneo, el rango de la matriz ampliada $rg(A^*)$ también es $3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - Si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. Al ser un sistema homogéneo determinado, la única solución posible es la **solución trivial**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0, \quad y = 0, \quad z = 0}$$

**b) El valor de $\alpha$ para el que el sistema $S$ tiene infinitas soluciones. (4 puntos).** Para que un sistema homogéneo tenga infinitas soluciones (sea un **Sistema Compatible Indeterminado**), el rango de la matriz de coeficientes debe ser menor que el número de incógnitas ($rg(A) \lt 3$). Esto ocurre cuando el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero: $$|A| = 0 \implies 16\alpha - 80 = 0$$ $$16\alpha = 80 \implies \alpha = \frac{80}{16} = 5.$$ Justificación por Rouché-Frobenius: Para $\alpha = 5$, $|A| = 0$, por lo que $rg(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 10 \end{vmatrix} = 10 - (-6) = 16 \neq 0 \implies rg(A) = 2.$$ Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas), el sistema tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 5}$$

**c) Todas las soluciones del sistema $S$ cuando se da a $\alpha$ el valor obtenido en el apartado b). (2 puntos).** Para $\alpha = 5$, el sistema es: $$\begin{cases} x - 2y - 3z = 0 \\ 3x + 10y - z = 0 \\ x + 14y + 5z = 0 \end{cases}$$ Como el rango es 2, una de las ecuaciones es redundante (podemos prescindir de la tercera) y el sistema depende de un parámetro. Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos $z$ al otro miembro como parámetro $z = \lambda$: $$\begin{cases} x - 2y = 3\lambda \\ 3x + 10y = \lambda \end{cases}$$ Multiplicamos la primera ecuación por 5 para eliminar la $y$: $$\begin{cases} 5x - 10y = 15\lambda \\ 3x + 10y = \lambda \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $$8x = 16\lambda \implies x = 2\lambda.$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$2\lambda - 2y = 3\lambda \implies -2y = \lambda \implies y = -\frac{1}{2}\lambda.$$ 💡 **Tip:** Para evitar fracciones en la solución final, podemos elegir $z = 2\lambda$. Si $z = 2\lambda$, entonces $x = 4\lambda$ e $y = -\lambda$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2\lambda, \quad y = -\frac{1}{2}\lambda, \quad z = \lambda \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$