Cálculo de un determinante de orden 4 con parámetros

**Calcular el valor del determinante** $$\begin{vmatrix} x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & y & 1 & 1 \\ 1 & 1 & z & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.$$ Para resolver este determinante de orden 4, utilizaremos las propiedades de los determinantes para generar ceros en las filas o columnas, lo que facilitará su desarrollo. Observamos que la cuarta fila está compuesta únicamente por unos, lo cual es ideal para restar esta fila a las demás. Aplicamos las siguientes operaciones elementales entre filas, las cuales mantienen el valor del determinante inalterado: - A la primera fila le restamos la cuarta: $F_1 \leftarrow F_1 - F_4$ - A la segunda fila le restamos la cuarta: $F_2 \leftarrow F_2 - F_4$ - A la tercera fila le restamos la cuarta: $F_3 \leftarrow F_3 - F_4$ $$\begin{vmatrix} x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & y & 1 & 1 \\ 1 & 1 & z & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & y-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & z-1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si a una fila le sumas o restas una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía. Generar ceros es la clave para reducir el orden del problema.

Ahora que tenemos una matriz con muchos ceros, podemos desarrollar el determinante por la primera fila (o la columna que prefiramos). Al desarrollar por la primera fila, solo sobrevive el primer término, ya que los demás elementos de dicha fila son cero: $$\begin{vmatrix} x-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & y-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & z-1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (x-1) \cdot \begin{vmatrix} y-1 & 0 & 0 \\ 0 & z-1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Para calcular este determinante de orden 3, volvemos a aplicar el desarrollo por la primera fila (o usamos la regla de Sarrus): $$(x-1) \cdot (y-1) \cdot \begin{vmatrix} z-1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Cuando una matriz es triangular (todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son cero), el determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal principal.

Finalmente, calculamos el determinante de orden 2 restante: $$\begin{vmatrix} z-1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (z-1) \cdot 1 - 0 \cdot 1 = z-1$$ Por tanto, multiplicando todos los factores obtenidos: $$|A| = (x-1) \cdot (y-1) \cdot (z-1)$$ Este es el valor final del determinante pedido en función de las variables $x$, $y$ y $z$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x-1)(y-1)(z-1)}$$