Posición relativa y distancia entre rectas en el espacio

**a) (1 punto) Estudiar su posición relativa.** Para estudiar la posición relativa de dos rectas, primero extraemos un punto y un vector director de cada una de ellas. Para la recta $r_1$, que está en forma continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$: - Punto $P_1(2, 1, 0)$ - Vector director $\vec{v}_1 = (3, -5, 2)$ Para la recta $r_2$, expresada en forma paramétrica: - Punto $P_2(-1, 3, 5)$ - Vector director $\vec{v}_2 = (-1, 1, 0)$ También necesitamos el vector $\vec{P_1P_2}$ que une un punto de cada recta: $$\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (-1 - 2, 3 - 1, 5 - 0) = (-3, 2, 5)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-a}{v_1} = \frac{y-b}{v_2} = \frac{z-c}{v_3}$, el punto es $(a, b, c)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$. ¡Cuidado con los signos del punto!

Comprobamos si los vectores directores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ son paralelos (proporcionales): $$\frac{3}{-1} \neq \frac{-5}{1} \neq \frac{2}{0}$$ Como sus componentes no son proporcionales, los vectores **no son paralelos**. Por lo tanto, las rectas o bien se cortan en un punto o bien se cruzan en el espacio. Para distinguirlo, analizamos el rango de la matriz formada por $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{P_1P_2}\}$ calculando su determinante.

Calculamos el determinante de los tres vectores para ver si son coplanarios: $$\det(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{P_1P_2}) = \begin{vmatrix} 3 & -5 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$\det = [ (3 \cdot 1 \cdot 5) + (-5 \cdot 0 \cdot -3) + (2 \cdot -1 \cdot 2) ] - [ (2 \cdot 1 \cdot -3) + (-5 \cdot -1 \cdot 5) + (3 \cdot 0 \cdot 2) ]$$ $$\det = [ 15 + 0 - 4 ] - [ -6 + 25 + 0 ] = 11 - 19 = -8$$ Como el determinante es distinto de cero ($\det \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r_1 \text{ y } r_2 \text{ se cruzan}}$$

**b) (2 puntos) Hallar la mínima distancia de $r_1$ a $r_2$.** La distancia mínima entre dos rectas que se cruzan se calcula mediante la fórmula basada en el volumen del paralelepípedo: $$d(r_1, r_2) = \frac{|[\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{P_1P_2}]|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$$ Ya conocemos el valor del numerador (valor absoluto del determinante): $|-8| = 8$. Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ paso a paso: $$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -5 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo el determinante por adjuntos de la primera fila: $$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \vec{i} \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \vec{i}(0 - 2) - \vec{j}(0 - (-2)) + \vec{k}(3 - 5) = -2\vec{i} - 2\vec{j} - 2\vec{k}$$ $$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = (-2, -2, -2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial nos da un vector perpendicular a ambos vectores directores, lo que define la dirección de la mínima distancia.

Calculamos el módulo del vector resultante del producto vectorial: $$|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ Ahora aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r_1, r_2) = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{3}$ arriba y abajo: $$d(r_1, r_2) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r_1, r_2) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \approx 2.31 \text{ u}}$$