Estudio completo de funciones: Dominio, límites, derivadas y trigonometría

**a) (1 punto) Hallar el dominio de $f(x)$ y el $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.** Para hallar el dominio de $f(x) = \frac{3x + \ln(x + 1)}{\sqrt{x^2 - 3}}$, debemos imponer que todas las operaciones de la función tengan sentido real: 1. **Logaritmo:** El argumento debe ser estrictamente positivo: $$x + 1 > 0 \implies x > -1$$ 2. **Raíz cuadrada en el denominador:** El radicando debe ser estrictamente positivo (no puede ser cero por estar en el denominador): $$x^2 - 3 > 0 \implies x^2 > 3 \implies |x| > \sqrt{3}$$ Esto nos da dos intervalos: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$. Como $\sqrt{3} \approx 1.732$, el intervalo $(-\infty, -\sqrt{3})$ queda fuera de la restricción $x > -1$. Por lo tanto, el dominio es la intersección de ambas condiciones: $$(-1, +\infty) \cap \left( (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty) \right) = (\sqrt{3}, +\infty)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para $\ln(A)$, $A > 0$ y para $\frac{1}{\sqrt{B}}$, $B > 0$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = (\sqrt{3}, +\infty)}$$

Calculamos el límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + \ln(x + 1)}{\sqrt{x^2 - 3}}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Para resolverla, dividimos numerador y denominador por la máxima potencia de $x$ del denominador, que es $x$ (ya que $\sqrt{x^2} = x$ para $x > 0$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{3x}{x} + \frac{\ln(x + 1)}{x}}{\sqrt{\frac{x^2 - 3}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 + \frac{\ln(x + 1)}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x^2}}}$$ Sabemos que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 1)}{x} = 0$ (por órdenes de infinitud, el polinomio crece más rápido que el logaritmo, o aplicando L'Hôpital: $\frac{1/(x+1)}{1} \to 0$). También $\frac{3}{x^2} \to 0$. Sustituyendo: $$\frac{3 + 0}{\sqrt{1 - 0}} = \frac{3}{1} = 3$$ ✅ **Resultado (Límite):** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3}$$

**b) (1 punto) Calcular $g'(e)$.** Para derivar $g(x) = (\ln x)^x$, que es una función de la forma $u(x)^{v(x)}$, aplicamos **derivación logarítmica**. Tomamos logaritmos naturales en ambos miembros: $$\ln(g(x)) = \ln((\ln x)^x) = x \cdot \ln(\ln x)$$ Derivamos ahora ambos miembros respecto a $x$: $$\frac{g'(x)}{g(x)} = (x)' \cdot \ln(\ln x) + x \cdot (\ln(\ln x))'$$ $$\frac{g'(x)}{g(x)} = 1 \cdot \ln(\ln x) + x \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x}$$ Despejamos $g'(x)$: $$g'(x) = g(x) \left[ \ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} \right] = (\ln x)^x \left[ \ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} \right]$$ 💡 **Tip:** Para derivar $f(x)^{g(x)}$ también puedes usar la identidad $f^g = e^{g \ln f}$ y luego derivar la exponencial.

Sustituimos $x = e$ en la expresión de la derivada: $$g'(e) = (\ln e)^e \left[ \ln(\ln e) + \frac{1}{\ln e} \right]$$ Sabemos que $\ln e = 1$, por tanto: $$g'(e) = (1)^e \left[ \ln(1) + \frac{1}{1} \right] = 1 \cdot [0 + 1] = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(e) = 1}$$

**c) (1 punto) Calcular, en el intervalo $(0, 2\pi)$, las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de los extremos relativos de $h(x)$.** Primero, simplificamos la función usando identidades trigonométricas: $$h(x) = \operatorname{sen}(\pi - x) = \operatorname{sen}(\pi)\cos(x) - \cos(\pi)\operatorname{sen}(x) = 0\cdot \cos x - (-1)\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(x)$$ Para hallar los cortes con el eje de abscisas ($y=0$): $$\operatorname{sen}(x) = 0 \implies x = 0, \pi, 2\pi \dots$$ Como buscamos los puntos en el intervalo **abierto** $(0, 2\pi)$, el único valor válido es $x = \pi$. La coordenada $y$ es $h(\pi) = 0$. ✅ **Resultado (Corte):** $$\boxed{P(\pi, 0)}$$

Para hallar los extremos relativos en $(0, 2\pi)$, calculamos la derivada y la igualamos a cero: $$h'(x) = \cos(x)$$ $$h'(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{3\pi}{2}$$ Estudiamos el signo de $h'(x)$ en los intervalos generados: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, \pi/2) & \pi/2 & (\pi/2, 3\pi/2) & 3\pi/2 & (3\pi/2, 2\pi) \\\hline h'(x) = \cos x & + & 0 & - & 0 & + \\\hline h(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas: - Para $x = \frac{\pi}{2}$: $y = h\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \implies \text{Máximo en } (\frac{\pi}{2}, 1)$. - Para $x = \frac{3\pi}{2}$: $y = h\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \operatorname{sen}\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \implies \text{Mínimo en } (\frac{3\pi}{2}, -1)$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo: } \left(\frac{\pi}{2}, 1\right), \quad \text{Mínimo: } \left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)}$$