Integración por partes y cambio de variable

**a) (1 punto) $\int_0^\pi e^{2x} \cos x \, dx$** Para resolver la integral indefinida $I = \int e^{2x} \cos x \, dx$, utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos las funciones para aplicar la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: - $u = \cos x \implies du = -\operatorname{sen} x \, dx$ - $dv = e^{2x} \, dx \implies v = \frac{1}{2} e^{2x}$ Aplicando la fórmula: $$I = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (-\operatorname{sen} x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \operatorname{sen} x \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica **ALPES** para elegir $u$. En este caso, al ser una trigonométrica y una exponencial, el orden no afecta drásticamente al resultado, pero debemos ser consistentes en el siguiente paso.

Aplicamos de nuevo el método de integración por partes a la integral restante $\int e^{2x} \operatorname{sen} x \, dx$: - $u = \operatorname{sen} x \implies du = \cos x \, dx$ - $dv = e^{2x} \, dx \implies v = \frac{1}{2} e^{2x}$ Sustituimos en la expresión anterior: $$I = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \operatorname{sen} x - \int \frac{1}{2} e^{2x} \cos x \, dx \right]$$ $$I = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{4} e^{2x} \operatorname{sen} x - \frac{1}{4} \int e^{2x} \cos x \, dx$$ Observamos que ha vuelto a aparecer la integral original $I$ (es una integral cíclica).

Sustituimos la integral por $I$ y despejamos: $$I = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{4} e^{2x} \operatorname{sen} x - \frac{1}{4} I$$ Sumamos $\frac{1}{4} I$ en ambos lados: $$\frac{5}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{4} e^{2x} \operatorname{sen} x$$ Multiplicamos por $\frac{4}{5}$ para aislar $I$: $$I = \frac{4}{5} \left( \frac{2 e^{2x} \cos x + e^{2x} \operatorname{sen} x}{4} \right) = \frac{e^{2x}}{5} (2 \cos x + \operatorname{sen} x)$$ Por tanto, la primitiva es: $$\boxed{F(x) = \frac{e^{2x}}{5} (2 \cos x + \operatorname{sen} x)}$$

Ahora evaluamos la integral definida entre $0$ y $\pi$ utilizando la **regla de Barrow**: $$\int_0^\pi e^{2x} \cos x \, dx = \left[ \frac{e^{2x}}{5} (2 \cos x + \operatorname{sen} x) \right]_0^\pi$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: - Para $x = \pi$: $F(\pi) = \frac{e^{2\pi}}{5} (2 \cos \pi + \operatorname{sen} \pi) = \frac{e^{2\pi}}{5} (2(-1) + 0) = -\frac{2e^{2\pi}}{5}$ - Para $x = 0$: $F(0) = \frac{e^0}{5} (2 \cos 0 + \operatorname{sen} 0) = \frac{1}{5} (2(1) + 0) = \frac{2}{5}$ Restamos los valores: $$\int_0^\pi e^{2x} \cos x \, dx = -\frac{2e^{2\pi}}{5} - \frac{2}{5} = -\frac{2}{5}(e^{2\pi} + 1)$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\int_0^\pi e^{2x} \cos x \, dx = -\frac{2(e^{2\pi} + 1)}{5}}$$

**b) (1 punto) $\int_0^{\pi/2} \frac{\operatorname{sen} 2x}{1 + \cos^2 2x} \, dx$** Analizamos la estructura de la integral. Observamos que el numerador $\operatorname{sen} 2x$ está relacionado con la derivada de la base de la potencia del denominador $(\cos 2x)$. Realizamos el **cambio de variable**: $$t = \cos 2x \implies dt = -2 \operatorname{sen} 2x \, dx \implies \operatorname{sen} 2x \, dx = -\frac{1}{2} dt$$ Calculamos los nuevos límites de integración: - Si $x = 0 \implies t = \cos(0) = 1$ - Si $x = \frac{\pi}{2} \implies t = \cos(\pi) = -1$ Sustituimos en la integral: $$\int_1^{-1} \frac{-1/2}{1 + t^2} \, dt = -\frac{1}{2} \int_1^{-1} \frac{1}{1 + t^2} \, dt$$ 💡 **Tip:** Invertir los límites de integración cambia el signo de la integral: $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$.

Cambiamos los límites para eliminar el signo negativo: $$\frac{1}{2} \int_{-1}^1 \frac{1}{1 + t^2} \, dt$$ La integral de $\frac{1}{1+t^2}$ es inmediata, resultando en la función arcotangente: $$\frac{1}{2} \left[ \operatorname{arctg} t \right]_{-1}^1$$ Aplicamos Barrow: $$\frac{1}{2} (\operatorname{arctg}(1) - \operatorname{arctg}(-1))$$ Sabemos que: - $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$ - $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$ Sustituimos: $$\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$$ ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{\int_0^{\pi/2} \frac{\operatorname{sen} 2x}{1 + \cos^2 2x} \, dx = \frac{\pi}{4}}$$