Puntos coplanarios, volumen de un tetraedro y plano mediador

**a) (1 punto) Hallar el valor de $a$ para que los cuatro puntos estén en el mismo plano.** Cuatro puntos $P_1, P_2, P_3, P_4$ son coplanarios si los vectores formados a partir de ellos, por ejemplo $\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}$ y $\vec{P_1P_4}$, son linealmente dependientes. Esto ocurre cuando el determinante de la matriz formada por dichos vectores es igual a cero. Primero, calculamos los vectores: - $\vec{P_1P_2} = (a-1, 2-3, 0-(-1)) = (a-1, -1, 1)$ - $\vec{P_1P_3} = (1-1, 5-3, 4-(-1)) = (0, 2, 5)$ - $\vec{P_1P_4} = (2-1, 0-3, 2-(-1)) = (1, -3, 3)$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que tres vectores sean coplanarios su producto mixto debe ser cero.

Planteamos el determinante de los tres vectores y lo igualamos a cero: $$\det(\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}, \vec{P_1P_4}) = \begin{vmatrix} a-1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 1 & -3 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$\text{Det} = (a-1) \cdot 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 5 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-3) - [1 \cdot 2 \cdot 1 + (-3) \cdot 5 \cdot (a-1) + 3 \cdot 0 \cdot (-1)]$$ $$\text{Det} = 6(a-1) - 5 + 0 - [2 - 15(a-1) + 0]$$ $$\text{Det} = 6a - 6 - 5 - 2 + 15a - 15 = 21a - 28$$ Para que sean coplanarios: $$21a - 28 = 0 \implies 21a = 28 \implies a = \frac{28}{21} = \frac{4}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \frac{4}{3}}$$

**b) (1 punto) Hallar los valores de $a$ para que el tetraedro con vértices en $P_1, P_2, P_3, P_4$ tenga volumen igual a 7.** El volumen de un tetraedro se calcula como la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de tres vectores que partan del mismo vértice: $$V = \frac{1}{6} | [\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}, \vec{P_1P_4}] |$$ Ya hemos calculado el producto mixto (el determinante) en el apartado anterior: $$[\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}, \vec{P_1P_4}] = 21a - 28$$ Por tanto, la condición es: $$\frac{1}{6} | 21a - 28 | = 7$$ 💡 **Tip:** El volumen siempre es una cantidad positiva, por eso es fundamental usar el valor absoluto.

Multiplicamos por 6 en ambos lados: $$| 21a - 28 | = 42$$ Esto nos da dos posibles soluciones: **Caso 1:** $$21a - 28 = 42 \implies 21a = 70 \implies a = \frac{70}{21} = \frac{10}{3}$$ **Caso 2:** $$21a - 28 = -42 \implies 21a = -14 \implies a = -\frac{14}{21} = -\frac{2}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \frac{10}{3}, \quad a = -\frac{2}{3}}$$

**c) (1 punto) Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de $P_1$ y de $P_3$.** El lugar geométrico de los puntos $X(x, y, z)$ que equidistan de dos puntos $P_1$ y $P_3$ es el **plano mediador** del segmento $P_1P_3$. Este plano tiene dos propiedades clave que utilizaremos: 1. Es perpendicular al segmento $P_1P_3$ (su vector normal es $\vec{P_1P_3}$). 2. Pasa por el punto medio del segmento $P_1P_3$. Calculamos el vector normal $\vec{n}$: $$\vec{n} = \vec{P_1P_3} = (1-1, 5-3, 4-(-1)) = (0, 2, 5)$$ Calculamos el punto medio $M$: $$M = \frac{P_1 + P_3}{2} = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{-1+4}{2} \right) = \left( 1, 4, \frac{3}{2} \right)$$

La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En nuestro caso: $$0x + 2y + 5z + D = 0 \implies 2y + 5z + D = 0$$ Hacemos que pase por el punto medio $M(1, 4, 3/2)$ para hallar $D$: $$2(4) + 5\left(\frac{3}{2}\right) + D = 0$$ $$8 + \frac{15}{2} + D = 0 \implies \frac{16+15}{2} + D = 0 \implies D = -\frac{31}{2}$$ Sustituimos $D$ en la ecuación: $$2y + 5z - \frac{31}{2} = 0$$ Multiplicando toda la ecuación por 2 para evitar fracciones: $$4y + 10z - 31 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{4y + 10z - 31 = 0}$$