Discusión de un sistema con parámetros y resolución de sistemas matriciales

**a) (1,5 puntos) Hallar el rango de $A$ en función de los valores de $k$.** Para estudiar el rango de la matriz $A$, calculamos primero su determinante mediante la regla de Sarrus y lo igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $k$: $$|A| = \begin{vmatrix} k & k & k^2 \\ 1 & -1 & k \\ 2k & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [k(-1)(2) + k(k)(2k) + k^2(1)(-2)] - [k^2(-1)(2k) + k(1)(2) + k(k)(-2)]$$ $$|A| = (-2k + 2k^3 - 2k^2) - (-2k^3 + 2k - 2k^2)$$ $$|A| = 2k^3 - 2k^2 - 2k + 2k^3 - 2k + 2k^2 = 4k^3 - 4k$$ Igualamos el determinante a cero: $$4k^3 - 4k = 0 \implies 4k(k^2 - 1) = 0$$ $$k(k-1)(k+1) = 0$$ Los valores que anulan el determinante son **$k = 0$**, **$k = 1$** y **$k = -1$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz de orden $n$ es distinto de cero, su rango es exactamente $n$.

Analizamos los diferentes casos según el valor del parámetro $k$: * **Si $k \neq 0, k \neq 1, k \neq -1$:** El determinante $|A| \neq 0$, por lo tanto, el rango de la matriz es máximo. $$\text{rang}(A) = 3$$ * **Si $k = 0$:** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$. El determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ * **Si $k = 1$:** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ * **Si $k = -1$:** La matriz es $A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$. Observamos que la fila 3 es proporcional a la fila 1 ($F_3 = 2F_1$). Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ ✅ **Resultado del rango:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k \neq 0, 1, -1 & \text{rang}(A) = 3 \\ \text{Si } k = 0, 1, -1 & \text{rang}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) (0,75 puntos) Para $k = 2$, hallar, si existe, la solución del sistema $AX = B$.** Si $k = 2$, como vimos en el apartado anterior, $|A| = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 \neq 0$. El sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)** y podemos resolverlo por la Regla de Cramer. El sistema es: $$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \\ 4 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$$ Calculamos las incógnitas: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 12 & 2 & 4 \\ 6 & -1 & 2 \\ 8 & -2 & 2 \end{vmatrix}}{24} = \frac{(-24 + 32 - 48) - (-32 - 48 + 24)}{24} = \frac{-40 - (-56)}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 12 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 2 \end{vmatrix}}{24} = 0 \quad \text{(pues } C_1 \text{ y } C_2 \text{ son proporcionales, } C_2 = 6C_1)$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 2 & 12 \\ 1 & -1 & 6 \\ 4 & -2 & 8 \end{vmatrix}}{24} = \frac{(-16 + 48 - 24) - (-48 - 24 + 16)}{24} = \frac{8 - (-56)}{24} = \frac{64}{24} = \frac{8}{3}$$ ✅ **Resultado (Solución para $k=2$):** $$\boxed{x = \frac{2}{3}, \quad y = 0, \quad z = \frac{8}{3}}$$

**c) (0,75 puntos) Para $k = 1$, hallar, si existe, la solución del sistema $AX = C$.** Para $k = 1$, sabemos que $\text{rang}(A) = 2$. Analizamos la matriz ampliada $(A|C)$ para aplicar el **Teorema de Rouché-Frobenius**: $$(A|C) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 2 & -2 & 2 & 3 \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de la matriz ampliada. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & 3 \end{vmatrix} = (-3 + 6 - 8) - (-8 - 6 + 3) = -5 - (-11) = 6 \neq 0$$ Esto significa que $\text{rang}(A|C) = 3$. Comparando los rangos: $$\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A|C) = 3$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Incompatible (SI)**. 💡 **Tip:** Si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el rango de la matriz ampliada, el sistema no tiene ninguna solución. ✅ **Resultado (Solución para $k=1$):** $$\boxed{\text{No existe solución (Sistema Incompatible)}}$$