Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) (1,5 puntos) Discutir el sistema según los valores de $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ a & -1 & 1 \\ 2 & 0 & a \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 2 \\ a & -1 & 1 & -8 \\ 2 & 0 & a & 4 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El estudio de la compatibilidad de un sistema se basa en comparar el rango de la matriz de coeficientes $A$ con el de la matriz ampliada $A^*$ mediante el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

Para hallar los valores de $a$ que hacen que el rango de $A$ sea máximo, calculamos su determinante $|A|$ usando la regla de Sarrus o desarrollando por la segunda columna (que contiene dos ceros): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -2 \\ a & -1 & 1 \\ 2 & 0 & a \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & a \end{vmatrix} = -1 \cdot (a - (-4)) = -a - 4$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-a - 4 = 0 \implies a = -4$$ 💡 **Tip:** Desarrollar por una fila o columna con muchos ceros simplifica enormemente los cálculos del determinante.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** analizando los dos casos posibles: **Caso 1: $a \neq -4$** Si $a \neq -4$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto: - $rg(A) = 3$ - $rg(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de columnas de $A^*$ ni menor que $rg(A)$) - $n = 3$ (número de incógnitas) Como $rg(A) = rg(A^*) = n = 3$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una única solución. **Caso 2: $a = -4$** Si $a = -4$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & 1 & -8 \\ 2 & 0 & -4 & 4 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Observamos que la tercera fila $R_3$ es exactamente el doble de la primera $R_1$ ($R_3 = 2R_1$). Esto implica que cualquier determinante de orden 3 que incluya estas dos filas será cero. Además, la cuarta columna $C_4$ es el doble de la primera $C_1$ ($C_4 = 2C_1$). Por tanto, $rg(A^*) = 2$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones. ✅ **Resultado de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq -4: \text{Sistema Compatible Determinado} \\ a = -4: \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) (0,5 puntos) Resolverlo para $a = -5$.** Como $a = -5 \neq -4$, estamos ante un **SCD**. Sustituimos el valor en el sistema: $$\begin{cases} x - 2z = 2 \quad (E1) \\ -5x - y + z = -8 \quad (E2) \\ 2x - 5z = 4 \quad (E3) \end{cases}$$ Observamos que $(E1)$ y $(E3)$ forman un subsistema de dos incógnitas ($x$ y $z$): 1. De $(E1)$: $x = 2 + 2z$ 2. Sustituimos en $(E3)$: $2(2 + 2z) - 5z = 4 \implies 4 + 4z - 5z = 4 \implies -z = 0 \implies \mathbf{z = 0}$ 3. Sustituimos $z=0$ en la expresión de $x$: $x = 2 + 2(0) \implies \mathbf{x = 2}$ Finalmente, calculamos $y$ usando $(E2)$: $$-5(2) - y + 0 = -8 \implies -10 - y = -8 \implies -y = 2 \implies \mathbf{y = -2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 2, \quad y = -2, \quad z = 0}$$