Propiedades de los determinantes con vectores

**a) (0,5 puntos) $\operatorname{det}(\vec{a}, 3\vec{d}, \vec{b})$.** Para resolver este apartado, aplicaremos las propiedades de linealidad de los determinantes y el efecto del intercambio de columnas: 1. **Extraer factor constante:** Si una columna está multiplicada por un número, este puede salir fuera del determinante. $$\operatorname{det}(\vec{a}, 3\vec{d}, \vec{b}) = 3 \cdot \operatorname{det}(\vec{a}, \vec{d}, \vec{b})$$ 2. **Intercambio de columnas:** Si intercambiamos dos columnas entre sí, el determinante cambia de signo. Intercambiamos la segunda y la tercera columna para obtener la combinación del enunciado $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{d})$: $$3 \cdot \operatorname{det}(\vec{a}, \vec{d}, \vec{b}) = -3 \cdot \operatorname{det}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{d})$$ 3. **Sustitución:** Según el enunciado, $\operatorname{det}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}) = -1$. $$-3 \cdot (-1) = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\operatorname{det}(C_1, C_2, C_3) = -\operatorname{det}(C_1, C_3, C_2)$. Cada intercambio simple de líneas o columnas multiplica el determinante por $-1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\operatorname{det}(\vec{a}, 3\vec{d}, \vec{b}) = 3}$$

**b) (0,75 puntos) $\operatorname{det}(\vec{a} - \vec{b}, \vec{c}, -\vec{d})$.** Aplicamos la linealidad respecto a la primera y tercera columna: 1. **Extraer el signo de la tercera columna:** Como $-\vec{d} = (-1)\vec{d}$: $$\operatorname{det}(\vec{a} - \vec{b}, \vec{c}, -\vec{d}) = -\operatorname{det}(\vec{a} - \vec{b}, \vec{c}, \vec{d})$$ 2. **Descomponer por la suma en la primera columna:** El determinante de una suma de vectores en una columna es la suma de los determinantes correspondientes: $$-\operatorname{det}(\vec{a} - \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}) = - [\operatorname{det}(\vec{a}, \vec{c}, \vec{d}) - \operatorname{det}(\vec{b}, \vec{c}, \vec{d})]$$ 3. **Sustitución de valores:** Utilizamos los datos del enunciado $\operatorname{det}(\vec{a}, \vec{c}, \vec{d}) = 3$ y $\operatorname{det}(\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}) = -2$: $$- [3 - (-2)] = - [3 + 2] = -5$$ 💡 **Tip:** El determinante es una función multilineal. Esto significa que $\det(u+v, w, z) = \det(u, w, z) + \det(v, w, z)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\operatorname{det}(\vec{a} - \vec{b}, \vec{c}, -\vec{d}) = -5}$$

**c) (0,75 puntos) $\operatorname{det}(\vec{d} + 3\vec{b}, 2\vec{a}, \vec{b} - 3\vec{a} + \vec{d})$.** Este determinante requiere simplificación previa mediante combinaciones lineales para facilitar el cálculo: 1. **Extraer el factor 2 de la segunda columna:** $$2 \cdot \operatorname{det}(\vec{d} + 3\vec{b}, \vec{a}, \vec{b} - 3\vec{a} + \vec{d})$$ 2. **Simplificar la tercera columna:** Podemos sumar a una columna un múltiplo de otra sin que el determinante varíe ($C_i \to C_i + k C_j$). Sumamos a la tercera columna 3 veces la segunda ($C_3 + 3C_2$): $$2 \cdot \operatorname{det}(\vec{d} + 3\vec{b}, \vec{a}, \vec{b} + \vec{d})$$ 3. **Descomponer por la primera columna:** $$2 \cdot [\operatorname{det}(\vec{d}, \vec{a}, \vec{b} + \vec{d}) + 3 \cdot \operatorname{det}(\vec{b}, \vec{a}, \vec{b} + \vec{d})]$$ 4. **Simplificar la tercera columna en cada término:** * En el primer término, restamos la $C_1$ a la $C_3$ ($C_3 - C_1$): $\operatorname{det}(\vec{d}, \vec{a}, \vec{b})$. * En el segundo término, restamos la $C_1$ a la $C_3$ ($C_3 - C_1$): $\operatorname{det}(\vec{b}, \vec{a}, \vec{d})$. $$2 \cdot [\operatorname{det}(\vec{d}, \vec{a}, \vec{b}) + 3 \cdot \operatorname{det}(\vec{b}, \vec{a}, \vec{d})]$$ 5. **Reordenar columnas para usar los datos conocidos:** * $\operatorname{det}(\vec{d}, \vec{a}, \vec{b}) = -\operatorname{det}(\vec{a}, \vec{d}, \vec{b}) = \operatorname{det}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}) = -1$. * $\operatorname{det}(\vec{b}, \vec{a}, \vec{d}) = -\operatorname{det}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}) = -(-1) = 1$. 6. **Operación final:** $$2 \cdot [(-1) + 3(1)] = 2 \cdot [2] = 4$$ 💡 **Tip:** Si un determinante tiene dos columnas iguales, su valor es $0$. Por eso, al descomponer $\det(b, a, b+d) = \det(b, a, b) + \det(b, a, d)$, el término $\det(b, a, b)$ desaparece automáticamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\operatorname{det}(\vec{d} + 3\vec{b}, 2\vec{a}, \vec{b} - 3\vec{a} + \vec{d}) = 4}$$