Análisis de la función $x^2 \operatorname{sen} x$: raíces, integrales y recta normal

**a) (1 punto) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación $f(x) = 0$ tiene alguna solución en el intervalo abierto $(\pi/2, \pi)$.** Para analizar si $f(x) = 0$ tiene soluciones en $(\pi/2, \pi)$, estudiamos los factores de la función $f(x) = x^2 \operatorname{sen} x$: 1. El término **$x^2$**: Para cualquier valor de $x$ en el intervalo $(\pi/2, \pi)$, $x$ es positivo (aproximadamente entre $1,57$ y $3,14$), por lo que $x^2 \gt 0$. 2. El término **$\operatorname{sen} x$**: El intervalo $(\pi/2, \pi)$ corresponde al segundo cuadrante. Sabemos que la función seno es estrictamente positiva en el primer y segundo cuadrante (es decir, para $x \in (0, \pi)$). Por tanto, $\operatorname{sen} x \gt 0$ para todo $x \in (\pi/2, \pi)$. Al ser ambos factores estrictamente positivos en dicho intervalo, su producto también lo es: $$f(x) = x^2 \operatorname{sen} x \gt 0 \quad \forall x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$ 💡 **Tip:** Una ecuación $g(x) \cdot h(x) = 0$ solo tiene solución si al menos uno de los factores es cero. Si ambos factores son siempre positivos en un intervalo, la función no puede anularse. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No hay ninguna solución en el intervalo } (\pi/2, \pi)}$$

**b) (1 punto) Calcular la integral de $f$ en el intervalo $[0, \pi]$.** Primero hallamos la primitiva de $\int x^2 \operatorname{sen} x \, dx$ utilizando el método de **integración por partes** dos veces. **Primera integración:** Elegimos $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ y $dv = \operatorname{sen} x \, dx \implies v = -\cos x$. $$\int x^2 \operatorname{sen} x \, dx = -x^2 \cos x - \int (-\cos x) 2x \, dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx$$ **Segunda integración (para $\int x \cos x \, dx$):** Elegimos $u = x \implies du = dx$ y $dv = \cos x \, dx \implies v = \operatorname{sen} x$. $$\int x \cos x \, dx = x \operatorname{sen} x - \int \operatorname{sen} x \, dx = x \operatorname{sen} x - (-\cos x) = x \operatorname{sen} x + \cos x$$ Sustituyendo este resultado en la expresión original: $$F(x) = -x^2 \cos x + 2(x \operatorname{sen} x + \cos x) = -x^2 \cos x + 2x \operatorname{sen} x + 2\cos x + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica "ALPES" para elegir $u$: potencias (Polinómicas) antes que trigonométricas (Seno/Coseno). $$\boxed{F(x) = -x^2 \cos x + 2x \operatorname{sen} x + 2\cos x}$$

Calculamos ahora la integral definida en el intervalo $[0, \pi]$: $$\int_0^\pi x^2 \operatorname{sen} x \, dx = [F(x)]_0^\pi = F(\pi) - F(0)$$ Evaluamos en los límites: - $F(\pi) = -\pi^2 \cos \pi + 2\pi \operatorname{sen} \pi + 2\cos \pi = -\pi^2(-1) + 2\pi(0) + 2(-1) = \pi^2 - 2$ - $F(0) = -0^2 \cos 0 + 2(0) \operatorname{sen} 0 + 2\cos 0 = 0 + 0 + 2(1) = 2$ Restamos los valores: $$\int_0^\pi x^2 \operatorname{sen} x \, dx = (\pi^2 - 2) - 2 = \pi^2 - 4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi^2 - 4 \approx 5,87}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = x^2 \\sin x", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{0 \\le x \\le \\pi\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 4, "bottom": -1, "top": 5 } } }

**c) (1 punto) Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de $y = f(x)$ en el punto $(\pi, f(\pi))$.** 1. **Punto de paso:** Calculamos la ordenada en $x = \pi$: $$y_0 = f(\pi) = \pi^2 \operatorname{sen} \pi = \pi^2 \cdot 0 = 0$$ El punto es $P(\pi, 0)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m_t$):** Derivamos $f(x) = x^2 \operatorname{sen} x$ usando la regla del producto: $$f'(x) = 2x \operatorname{sen} x + x^2 \cos x$$ Evaluamos la derivada en $x = \pi$: $$m_t = f'(\pi) = 2\pi \operatorname{sen} \pi + \pi^2 \cos \pi = 2\pi(0) + \pi^2(-1) = -\pi^2$$ 3. **Pendiente de la normal ($m_n$):** La recta normal es perpendicular a la tangente, por lo que: $$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-\pi^2} = \frac{1}{\pi^2}$$ 4. **Ecuación de la recta normal:** Usamos la fórmula punto-pendiente $y - y_0 = m_n(x - x_0)$: $$y - 0 = \frac{1}{\pi^2}(x - \pi)$$ Despejando: $$y = \frac{x}{\pi^2} - \frac{\pi}{\pi^2} = \frac{x}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $-1$, es decir, $m_1 \cdot m_2 = -1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \dfrac{1}{\pi^2}x - \dfrac{1}{\pi} \quad \text{o bien} \quad x - \pi^2 y - \pi = 0}$$