Simetrías en el espacio: punto, recta y plano

**a) (0,5 puntos) Hallar el punto $P'$ simétrico de $P$ respecto del punto $Q(3, 0, 2)$.** El punto $Q$ es el punto medio del segmento que une $P$ con su simétrico $P'(x', y', z')$. La fórmula del punto medio $M$ entre dos puntos $A$ y $B$ es: $$M = \frac{A + B}{2}$$ En este caso, tenemos: $$Q = \frac{P + P'}{2} \implies (3, 0, 2) = \left( \frac{2 + x'}{2}, \frac{1 + y'}{2}, \frac{-1 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $3 = \frac{2 + x'}{2} \implies 6 = 2 + x' \implies x' = 4$ 2. $0 = \frac{1 + y'}{2} \implies 0 = 1 + y' \implies y' = -1$ 3. $2 = \frac{-1 + z'}{2} \implies 4 = -1 + z' \implies z' = 5$ 💡 **Tip:** Para hallar el simétrico respecto a un punto, simplemente despeja las coordenadas del punto desconocido sabiendo que el centro de simetría es el promedio de los otros dos. ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'(4, -1, 5)}$$

**b) (1,25 puntos) Hallar el punto $P''$ simétrico de $P$ respecto de la recta $r \equiv x - 1 = y - 1 = z$.** Para hallar el simétrico respecto de una recta, primero calculamos la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$, que llamaremos $M$. Este punto $M$ será el punto medio del segmento $PP''$. 1. **Hallar el plano $\pi_{aux}$** que contiene a $P(2, 1, -1)$ y es perpendicular a la recta $r$. La recta $r$ está dada en forma continua: $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{1}$. Su vector director es $\vec{v_r} = (1, 1, 1)$. Como el plano es perpendicular a la recta, el vector normal del plano es $\vec{n_{\pi}} = \vec{v_r} = (1, 1, 1)$. La ecuación del plano será: $$1(x - 2) + 1(y - 1) + 1(z - (-1)) = 0$$ $$x - 2 + y - 1 + z + 1 = 0 \implies x + y + z - 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a una recta utiliza el vector director de la recta como su propio vector normal.

2. **Hallar el punto de intersección $M = r \cap \pi_{aux}$**. Escribimos la recta $r$ en paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Sustituimos en la ecuación de $\pi_{aux}$: $$(1 + \lambda) + (1 + \lambda) + \lambda - 2 = 0$$ $$3\lambda + 2 - 2 = 0 \implies 3\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituyendo $\lambda = 0$ en las ecuaciones de $r$, obtenemos el punto de corte: $$M(1, 1, 0)$$ 3. **Cálculo de $P''(x'', y'', z'')$**: $M$ es el punto medio de $PP''$: $$(1, 1, 0) = \left( \frac{2 + x''}{2}, \frac{1 + y''}{2}, \frac{-1 + z''}{2} \right)$$ Resolviendo para cada componente: - $1 = \frac{2 + x''}{2} \implies 2 = 2 + x'' \implies x'' = 0$ - $1 = \frac{1 + y''}{2} \implies 2 = 1 + y'' \implies y'' = 1$ - $0 = \frac{-1 + z''}{2} \implies 0 = -1 + z'' \implies z'' = 1$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P''(0, 1, 1)}$$

**c) (1,25 puntos) Hallar el punto $P'''$ simétrico de $P$ respecto del plano $\pi \equiv x + y + z = 3$.** Para hallar el simétrico respecto de un plano, primero calculamos la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano $\pi$, que llamaremos $M$. Este punto $M$ será el punto medio del segmento $PP'''$. 1. **Hallar la recta $s$** que pasa por $P(2, 1, -1)$ y es perpendicular al plano $\pi$. El vector normal del plano es $\vec{n_{\pi}} = (1, 1, 1)$. Como la recta es perpendicular al plano, su vector director es $\vec{v_s} = \vec{n_{\pi}} = (1, 1, 1)$. Las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ son: $$s \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Una recta perpendicular a un plano utiliza el vector normal del plano como su vector director.

2. **Hallar el punto de intersección $M = s \cap \pi$**. Sustituimos las coordenadas de $s$ en la ecuación del plano $\pi \equiv x + y + z = 3$: $$(2 + \lambda) + (1 + \lambda) + (-1 + \lambda) = 3$$ $$3\lambda + 2 = 3 \implies 3\lambda = 1 \implies \lambda = \frac{1}{3}$$ Obtenemos las coordenadas de $M$: $$x_M = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}, \quad y_M = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}, \quad z_M = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$$ $$M\left( \frac{7}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{2}{3} \right)$$ 3. **Cálculo de $P'''(x''', y''', z''')$**: $M$ es el punto medio de $PP'''$: $$\left( \frac{7}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{2}{3} \right) = \left( \frac{2 + x'''}{2}, \frac{1 + y'''}{2}, \frac{-1 + z'''}{2} \right)$$ Despejamos las coordenadas: - $\frac{7}{3} = \frac{2 + x'''}{2} \implies \frac{14}{3} = 2 + x''' \implies x''' = \frac{14}{3} - \frac{6}{3} = \frac{8}{3}$ - $\frac{4}{3} = \frac{1 + y'''}{2} \implies \frac{8}{3} = 1 + y''' \implies y''' = \frac{8}{3} - \frac{3}{3} = \frac{5}{3}$ - $-\frac{2}{3} = \frac{-1 + z'''}{2} \implies -\frac{4}{3} = -1 + z''' \implies z''' = -\frac{4}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'''\left(\frac{8}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{1}{3}\right)}$$