Puntos de una recta a una distancia fija de un plano

Para encontrar puntos específicos de la recta $r$, lo más sencillo es expresar sus coordenadas en función de un parámetro $\lambda$. Dada la ecuación continua de la recta: $$r \equiv \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{3}$$ Igualamos cada fracción a $\lambda$ y despejamos las variables: $$\begin{cases} x = 4 + 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 + 3\lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $P$ perteneciente a la recta $r$ tendrá la forma: $$P(4 + 2\lambda, \, 1 - \lambda, \, 2 + 3\lambda)$$ 💡 **Tip:** Pasar de continua a paramétrica es fundamental para resolver problemas de incidencia y distancias, ya que nos permite trabajar con una sola incógnita, $\lambda$.

Queremos encontrar los puntos de $r$ cuya distancia al plano $\pi \equiv 2x + y - 2z - 7 = 0$ sea igual a $1$. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos las coordenadas de nuestro punto genérico $P(4 + 2\lambda, 1 - \lambda, 2 + 3\lambda)$ y los coeficientes del plano: $$1 = \frac{|2(4 + 2\lambda) + 1(1 - \lambda) - 2(2 + 3\lambda) - 7|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}$$ 💡 **Tip:** No olvides el valor absoluto en el numerador; es lo que nos permitirá obtener las dos posibles soluciones (una a cada lado del plano).

Operamos dentro del valor absoluto y en el denominador: $$1 = \frac{|8 + 4\lambda + 1 - \lambda - 4 - 6\lambda - 7|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$$ $$1 = \frac{|-3\lambda - 2|}{\sqrt{9}}$$ $$1 = \frac{|-3\lambda - 2|}{3}$$ Multiplicamos por $3$ ambos miembros: $$3 = |-3\lambda - 2|$$ Esto nos da lugar a dos casos posibles: **Caso 1:** $$-3\lambda - 2 = 3 \implies -3\lambda = 5 \implies \lambda_1 = -\frac{5}{3}$$ **Caso 2:** $$-3\lambda - 2 = -3 \implies -3\lambda = -1 \implies \lambda_2 = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** La ecuación $|f(\lambda)| = k$ siempre se desglosa en $f(\lambda) = k$ y $f(\lambda) = -k$.

Sustituimos los valores de $\lambda$ hallados en las ecuaciones paramétricas de la recta: Para **$\lambda_1 = -\frac{5}{3}$**: $$x = 4 + 2\left(-\frac{5}{3}\right) = 4 - \frac{10}{3} = \frac{2}{3}$$ $$y = 1 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$$ $$z = 2 + 3\left(-\frac{5}{3}\right) = 2 - 5 = -3$$ $$P_1 \left( \frac{2}{3}, \frac{8}{3}, -3 \right)$$ Para **$\lambda_2 = \frac{1}{3}$**: $$x = 4 + 2\left(\frac{1}{3}\right) = 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$$ $$y = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ $$z = 2 + 3\left(\frac{1}{3}\right) = 2 + 1 = 3$$ $$P_2 \left( \frac{14}{3}, \frac{2}{3}, 3 \right)$$ Los puntos de la recta $r$ cuya distancia al plano $\pi$ es igual a $1$ son: $$\boxed{P_1 \left( \frac{2}{3}, \frac{8}{3}, -3 \right) \quad \text{y} \quad P_2 \left( \frac{14}{3}, \frac{2}{3}, 3 \right)}$$