Función a trozos: continuidad, derivabilidad y extremos absolutos

**a) (1 punto) Hallar el valor de $A$ para que $f(x)$ sea continua. ¿Es derivable para ese valor de $A$?** Una función definida a trozos es continua en un punto $x = c$ si existen los límites laterales y coinciden con el valor de la función en dicho punto. Las funciones que forman las ramas ($3x + A$ y $-4 + 10x - x^2$) son polinómicas, por lo que son continuas en sus respectivos dominios. El único punto de posible discontinuidad es el punto de salto entre ramas, $x = 3$. Calculamos los límites laterales en $x = 3$: 1. Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (3x + A) = 3(3) + A = 9 + A$$ 2. Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (-4 + 10x - x^2) = -4 + 10(3) - (3)^2 = -4 + 30 - 9 = 17$$ Para que sea continua, ambos límites deben coincidir: $$9 + A = 17 \implies A = 17 - 9 = 8$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que $f(x)$ sea continua en $x=c$, debe cumplirse $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$. ✅ **Resultado para la continuidad:** $$\boxed{A = 8}$$

Para estudiar la derivabilidad en $x = 3$, primero derivamos las ramas de la función (para $A = 8$): $$f'(x) = \begin{cases} 3 & \text{si } x < 3 , \\ 10 - 2x & \text{si } x > 3 . \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en el punto de salto $x = 3$: 1. Derivada por la izquierda: $$f'(3^-) = \lim_{x \to 3^-} 3 = 3$$ 2. Derivada por la derecha: $$f'(3^+) = \lim_{x \to 3^+} (10 - 2x) = 10 - 2(3) = 10 - 6 = 4$$ Como $f'(3^-) \neq f'(3^+)$ ($3 \neq 4$), las pendientes a ambos lados no coinciden. 💡 **Tip:** Una función continua no tiene por qué ser derivable (puede presentar un punto anguloso), pero una función derivable siempre es continua. ✅ **Resultado de derivabilidad:** $$\boxed{\text{La función no es derivable en } x = 3 \text{ para } A = 8}$$

**b) (1 punto) Hallar los puntos en los que $f'(x) = 0$.** Analizamos la derivada en cada una de las ramas de la función: 1. **Para $x < 3$:** La derivada es $f'(x) = 3$. Como $3 \neq 0$, no hay puntos en esta rama donde la derivada sea nula. 2. **Para $x > 3$:** La derivada es $f'(x) = 10 - 2x$. Igualamos a cero: $$10 - 2x = 0 \implies 10 = 2x \implies x = 5$$ Debemos comprobar si el valor obtenido pertenece al dominio de la rama ($x > 3$). Como $5 > 3$, el punto es válido. 💡 **Tip:** Siempre verifica que el valor de $x$ hallado se encuentre dentro del intervalo de definición de la rama que estás derivando. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 5}$$

**c) (1 punto) Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de $f(x)$ en el intervalo $[4, 8]$.** El intervalo $[4, 8]$ está contenido íntegramente en la segunda rama de la función ($x > 3$), por lo tanto trabajaremos con: $$f(x) = -x^2 + 10x - 4 \quad \text{para } x \in [4, 8]$$ Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado, evaluamos la función en: 1. Los extremos del intervalo: $x = 4$ y $x = 8$. 2. Los puntos críticos (donde $f'(x) = 0$) que estén dentro del intervalo. En el apartado anterior vimos que $f'(x) = 0$ en $x = 5$, que pertenece al intervalo $(4, 8)$. Calculamos los valores de la función: - $f(4) = -(4)^2 + 10(4) - 4 = -16 + 40 - 4 = 20$ - $f(5) = -(5)^2 + 10(5) - 4 = -25 + 50 - 4 = 21$ - $f(8) = -(8)^2 + 10(8) - 4 = -64 + 80 - 4 = 12$ Comparando los valores: - El valor máximo es $21$ (alcanzado en $x = 5$). - El valor mínimo es $12$ (alcanzado en $x = 8$). 💡 **Tip:** El Teorema de Weierstrass garantiza que una función continua en un intervalo cerrado alcanza siempre un máximo y un mínimo absolutos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo absoluto: } 21 \text{ en } x = 5, \quad \text{Mínimo absoluto: } 12 \text{ en } x = 8}$$