Integral definida de una suma (exponencial y partes)

Para resolver la integral planteada, utilizaremos la propiedad de linealidad de la integral, que nos permite separar la integral de una suma en la suma de las integrales de cada término: $$\int_0^{\pi/2} (e^{2x} + x \cos x) dx = \int_0^{\pi/2} e^{2x} dx + \int_0^{\pi/2} x \cos x dx$$ Resolveremos primero las integrales indefinidas correspondientes a cada parte para hallar la función primitiva global. 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una suma es la suma de las integrales: $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$.

La primera parte es una integral inmediata de tipo exponencial: $$\int e^{2x} dx$$ Sabemos que $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C$. En nuestro caso, $k=2$, por lo que: $$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x}$$ 💡 **Tip:** Si no lo ves claro, puedes hacer el cambio de variable $u = 2x$, entonces $du = 2dx$, lo que implica $dx = \frac{du}{2}$.

La segunda parte es $\int x \cos x dx$. Al ser un producto de una función polinómica por una trigonométrica, aplicamos el método de **integración por partes**. Usamos la fórmula: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ Elegimos los elementos siguiendo la regla **ALPES**: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos x \, dx \implies v = \int \cos x \, dx = \sin x$ Sustituimos en la fórmula: $$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx$$ Como la integral de $\sin x$ es $-\cos x$: $$\int x \cos x dx = x \sin x - (-\cos x) = x \sin x + \cos x$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica "Un Día Vi Una Vaca Sin (menos integral) Vestida De Uniforme" para la integración por partes.

Combinamos los resultados anteriores para obtener la primitiva general $F(x)$: $$F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + x \sin x + \cos x$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites de integración $0$ y $\pi/2$: $$\int_0^{\pi/2} (e^{2x} + x \cos x) dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} + x \sin x + \cos x \right]_0^{\pi/2}$$ Calculamos el valor en el límite superior ($x = \pi/2$): $$F(\pi/2) = \frac{1}{2}e^{2(\pi/2)} + \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$$ Como $\sin(\pi/2) = 1$ y $\cos(\pi/2) = 0$: $$F(\pi/2) = \frac{1}{2}e^{\pi} + \frac{\pi}{2}(1) + 0 = \frac{e^{\pi} + \pi}{2}$$ Calculamos el valor en el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = \frac{1}{2}e^{2(0)} + 0 \cdot \sin(0) + \cos(0)$$ Como $e^0 = 1$, $\sin(0) = 0$ y $\cos(0) = 1$: $$F(0) = \frac{1}{2}(1) + 0 + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$ Finalmente, restamos ambos valores: $$I = F(\pi/2) - F(0) = \frac{e^{\pi} + \pi}{2} - \frac{3}{2} = \frac{e^{\pi} + \pi - 3}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{e^{\pi} + \pi - 3}{2} \approx 11.64}$$