Límite y derivabilidad de una función definida a trozos

**a) Calcule $\lim_{x \to 1} f(x)$ siendo $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x \neq 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \end{cases}$. (1.5 puntos)** Para calcular el límite cuando $x$ tiende a $1$, debemos fijarnos en la rama de la función que define los valores cercanos a $1$, pero no iguales a $1$. En este caso, es la rama $x \neq 1$: $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$ Al sustituir $x = 1$, obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \left[\frac{0}{0}\right]$$ Siguiendo las instrucciones, resolvemos la indeterminación aplicando la **Regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(x^2 - 1)}{\frac{d}{dx}(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{2x}{1}$$ Ahora, evaluamos el límite sustituyendo de nuevo $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{2x}{1} = \frac{2(1)}{1} = 2$$ 💡 **Tip:** Aunque también se puede resolver factorizando el numerador como una diferencia de cuadrados $(x-1)(x+1)$, la regla de L'Hôpital es un método sistemático muy útil para indeterminaciones $\frac{0}{0}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 1} f(x) = 2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f_branch", "latex": "y=\\left\\{x\\neq 1: \\frac{x^2-1}{x-1}\\right\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "point_f1", "latex": "(1, 3)", "color": "#ef4444" }, { "id": "hole", "latex": "(1, 2)", "color": "#2563eb", "pointStyle": "OPEN" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 3, "bottom": 0, "top": 5 } } }

**b) ¿Es la función $f$ derivable en $x = 1$? Justifique su respuesta. (1 punto)** Para estudiar la derivabilidad de una función en un punto, el primer paso obligatorio es comprobar si la función es **continua** en dicho punto. Si una función no es continua en $x=a$, automáticamente no puede ser derivable en $x=a$. Una función es continua en $x=a$ si se cumple que: 1. Existe $f(a)$. 2. Existe $\lim_{x \to a} f(x)$. 3. Ambos valores coinciden: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. En nuestro caso, para $x = 1$: - El valor de la función es: $f(1) = 3$. - El valor del límite (calculado en el apartado anterior) es: $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$. Comparamos los valores: $$\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \neq f(1) = 3$$ Al no coincidir el límite con el valor de la función, existe un **salto** puntual en $x=1$. 💡 **Tip:** La continuidad es una condición necesaria, pero no suficiente, para la derivabilidad. Si falla la continuidad, el estudio termina ahí.

Como hemos demostrado que la función $f(x)$ presenta una discontinuidad evitable en $x = 1$ (ya que el límite existe pero no coincide con la imagen), aplicamos el teorema de derivabilidad: **"Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto."** Por el contrarrecíproco: **"Si una función no es continua en un punto, entonces no es derivable en dicho punto."** Por tanto, al no ser continua en $x = 1$, la función no es derivable en $x = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f \text{ no es derivable en } x = 1 \text{ porque no es continua en ese punto.}}$$