Posición relativa de recta y plano. Punto de corte

**a) Halle la posición relativa de la recta $r : \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}$ y el plano $\pi : 2x + 4y - 3z = 15$. (1 punto)** Para estudiar la posición relativa de una recta $r$ y un plano $\pi$, extraemos el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: - De la ecuación continua de la recta $r$: $\vec{v}_r = (1, 2, 3)$. - De la ecuación implícita del plano $\pi$: $\vec{n}_\pi = (2, 4, -3)$. Calculamos el producto escalar de ambos vectores para comprobar si la recta es paralela al plano (en cuyo caso el vector director de la recta sería perpendicular al normal del plano): $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (1, 2, 3) \cdot (2, 4, -3) = (1)(2) + (2)(4) + (3)(-3) = 2 + 8 - 9 = 1$$ Como $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$, los vectores no son perpendiculares. Esto implica que la recta no es paralela al plano ni está contenida en él. 💡 **Tip:** Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$, la recta es paralela al plano o está contenida. Si es $\neq 0$, la recta y el plano son **secantes** (se cortan en un punto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ se cortan en un único punto (son secantes)}}$$

Para visualizar la situación, representamos un plano intersecado por una recta en un punto $P$.

**b) En caso de cortarse, halle el corte. (1.5 puntos)** Para hallar el punto de corte $P$, expresamos la recta $r$ en sus ecuaciones paramétricas. Usamos el punto $A(-1, 1, 2)$ y el vector $\vec{v}_r = (1, 2, 3)$ obtenidos de la ecuación continua: $$r: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = 2 + 3\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi: 2x + 4y - 3z = 15$: $$2(-1 + \lambda) + 4(1 + 2\lambda) - 3(2 + 3\lambda) = 15$$ Desarrollamos la ecuación para despejar $\lambda$: $$-2 + 2\lambda + 4 + 8\lambda - 6 - 9\lambda = 15$$ $$(2 + 8 - 9)\lambda + (-2 + 4 - 6) = 15$$ $$\lambda - 4 = 15$$ $$\lambda = 19$$ 💡 **Tip:** El valor de $\lambda$ obtenido es el parámetro que, al sustituirse en la recta, nos da las coordenadas exactas del punto donde toca al plano.

Una vez hallado $\lambda = 19$, sustituimos este valor en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ para encontrar el punto $P(x, y, z)$: - $x = -1 + 19 = 18$ - $y = 1 + 2(19) = 1 + 38 = 39$ - $z = 2 + 3(19) = 2 + 57 = 59$ Comprobamos que el punto pertenece al plano: $2(18) + 4(39) - 3(59) = 36 + 156 - 177 = 192 - 177 = 15$. La solución es correcta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(18, 39, 59)}$$