Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro

**a) Estudie su compatibilidad según los valores de $a$. (1.5 puntos)** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a-1 & 2 & a-1 \\ 0 & a+1 & -(a+1) \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a-1 & 2 & a-1 & 1+a \\ 0 & a+1 & -(a+1) & 2 \\ 1 & 1 & a & a \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} a-1 & 2 & a-1 \\ 0 & a+1 & -(a+1) \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda fila (que tiene un cero): $$|A| = -(0) + (a+1) \begin{vmatrix} a-1 & a-1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - (-(a+1)) \begin{vmatrix} a-1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (a+1) [(a-1)a - (a-1)] + (a+1) [(a-1) - 2]$$ $$|A| = (a+1) [(a-1)(a-1)] + (a+1) [a-3]$$ $$|A| = (a+1) [a^2 - 2a + 1 + a - 3] = (a+1)(a^2 - a - 2)$$ 💡 **Tip:** Para discutir un sistema, el primer paso suele ser hallar los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$(a+1)(a^2 - a - 2) = 0$$ Esto ocurre si: 1. $a + 1 = 0 \implies a = -1$ 2. $a^2 - a - 2 = 0 \implies a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies a = 2, \, a = -1$ Por tanto, las raíces son $a = -1$ (doble) y $a = 2$. 💡 **Tip:** Si el determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$), el rango de $A$ es máximo e igual al número de incógnitas, por lo que el sistema será Compatible Determinado por el Teorema de Rouché-Frobenius.

Analizamos los casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq -1$ y $a \neq 2$** En este caso $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y hay 3 incógnitas: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n \implies \textbf{Sistema Compatible Determinado (SCD)}$$ **Caso 2: $a = -1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right)$$ En la segunda fila observamos la ecuación $0x + 0y + 0z = 2$, lo cual es imposible ($0 = 2$). $$\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3 \implies \textbf{Sistema Incompatible (SI)}$$ **Caso 3: $a = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & -3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de $A^*$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (6+4+0)-(9+2+0) = 10-11 = -1 \neq 0$. $$\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3 \implies \textbf{Sistema Incompatible (SI)}$$ ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\} \implies \text{SCD} \\ a = -1 \implies \text{SI} \\ a = 2 \implies \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Resuélvalo cuando $a = 0$. (1 punto)** Sustituimos $a = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} -x + 2y - z = 1 \\ y - z = 2 \\ x + y = 0 \end{cases}$$ Como $a=0$ no es $-1$ ni $2$, sabemos que es un **SCD**. Resolvemos por sustitución: 1. De la tercera ecuación: $x = -y$. 2. De la segunda ecuación: $z = y - 2$. 3. Sustituimos en la primera: $$-(-y) + 2y - (y - 2) = 1$$ $$y + 2y - y + 2 = 1 \implies 2y = -1 \implies y = -\frac{1}{2}$$ Calculamos el resto de variables: - $x = -y = -(-1/2) = \frac{1}{2}$ - $z = y - 2 = -1/2 - 2 = -\frac{5}{2}$ ✅ **Resultado (Resolución):** $$\boxed{x = \frac{1}{2}, \quad y = -\frac{1}{2}, \quad z = -\frac{5}{2}}$$