Integral indefinida por cambio de variable

**Ejercicio 4.- Calcule $\int \frac{e^x}{e^{2x} - 1} dx$ haciendo el cambio de variable $e^x = t$. (2.5 puntos)** El enunciado nos sugiere el cambio de variable $e^x = t$. Para aplicarlo correctamente, debemos hallar el diferencial $dt$ derivando ambos miembros: $$e^x = t \implies e^x dx = dt$$ Además, observamos que en el denominador aparece $e^{2x}$. Aplicando las propiedades de las potencias: $$e^{2x} = (e^x)^2 = t^2$$ Sustituimos estos elementos en la integral original: $$\int \frac{e^x}{e^{2x} - 1} dx = \int \frac{1}{t^2 - 1} dt$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al realizar un cambio de variable, toda la expresión debe quedar en función de la nueva variable $t$, incluido el diferencial.

La integral resultante es una integral racional. Como el grado del numerador es menor que el del denominador, procedemos a descomponer la fracción en fracciones simples. Primero, factorizamos el denominador (es una diferencia de cuadrados): $$t^2 - 1 = (t-1)(t+1)$$ Planteamos la descomposición: $$\frac{1}{t^2 - 1} = \frac{1}{(t-1)(t+1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1}$$ Para hallar $A$ y $B$, igualamos los numeradores: $$1 = A(t+1) + B(t-1)$$ - Si $t = 1 \implies 1 = A(1+1) \implies 1 = 2A \implies \mathbf{A = \frac{1}{2}}$ - Si $t = -1 \implies 1 = B(-1-1) \implies 1 = -2B \implies \mathbf{B = -\frac{1}{2}}$ Por tanto: $$\frac{1}{t^2 - 1} = \frac{1/2}{t-1} - \frac{1/2}{t+1}$$

Sustituimos la descomposición en la integral y aplicamos la linealidad (la integral de la suma es la suma de las integrales): $$\int \frac{1}{t^2 - 1} dt = \int \left( \frac{1/2}{t-1} - \frac{1/2}{t+1} \right) dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t-1} dt - \frac{1}{2} \int \frac{1}{t+1} dt$$ Estas son integrales inmediatas de tipo logarítmico: $$\frac{1}{2} \ln|t-1| - \frac{1}{2} \ln|t+1| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$. Usamos el valor absoluto porque el logaritmo solo está definido para números positivos.

Finalmente, debemos expresar el resultado en función de la variable original $x$ sustituyendo $t = e^x$: $$\frac{1}{2} \ln|e^x - 1| - \frac{1}{2} \ln|e^x + 1| + C$$ Podemos simplificar el resultado utilizando las propiedades de los logaritmos (resta de logaritmos es el logaritmo del cociente y el coeficiente pasa como exponente): $$\frac{1}{2} \left( \ln|e^x - 1| - \ln|e^x + 1| \right) + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right| + C$$ O también: $$\ln \sqrt{\left| \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right|} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{e^x}{e^{2x} - 1} dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right| + C}$$ *(Nota: Como $e^x + 1 > 0$, el valor absoluto en el denominador no es estrictamente necesario, pero se suele mantener por generalidad)*.