Pendiente máxima de una curva

**a) Halle el punto de la curva en el que la recta tangente a su gráfica tiene pendiente máxima. (1.5 puntos)** Sea la función $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en un punto cualquiera $x$ viene dada por el valor de su primera derivada $f'(x)$. Calculamos $f'(x)$ utilizando la regla de la cadena o la regla del cociente: $$f(x) = (1 + x^2)^{-1}$$ $$f'(x) = -1 \cdot (1 + x^2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(1 + x^2)^2}$$ Definimos la función pendiente como $m(x) = f'(x) = \frac{-2x}{(1 + x^2)^2}$. Nuestro objetivo es encontrar el máximo absoluto de esta función $m(x)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto coincidirá siempre con el valor de la derivada de la función en dicho punto.

Para maximizar $m(x)$, debemos hallar sus puntos críticos calculando su derivada $m'(x)$, que coincide con la segunda derivada de la función original, $f''(x)$. Calculamos $f''(x)$ usando la regla del cociente: $$f''(x) = \frac{-2 \cdot (1 + x^2)^2 - (-2x) \cdot [2(1 + x^2) \cdot 2x]}{(1 + x^2)^4}$$ Simplificamos extrayendo factor común $(1 + x^2)$ en el numerador: $$f''(x) = \frac{(1 + x^2) \left[ -2(1 + x^2) + 8x^2 \right]}{(1 + x^2)^4} = \frac{-2 - 2x^2 + 8x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3}$$ Buscamos los puntos donde $f''(x) = 0$: $$6x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Los candidatos a máximo son $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ y $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Analizamos el signo de $m'(x) = f''(x)$ para determinar cuál de los puntos es el máximo de la pendiente. El denominador $(1+x^2)^3$ siempre es positivo, por lo que el signo depende del numerador $6x^2 - 2$. $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}) & -\frac{\sqrt{3}}{3} & (-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) & \frac{\sqrt{3}}{3} & (\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty) \\\hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ m(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ - En $(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3})$, $f''(x) > 0$, la pendiente $m(x)$ es creciente. - En $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$, $f''(x) < 0$, la pendiente $m(x)$ es decreciente. - En $(\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$, $f''(x) > 0$, la pendiente $m(x)$ es creciente. Por lo tanto, existe un **máximo relativo** de la pendiente en $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Como $\lim_{x \to \pm \infty} m(x) = 0$ y $m(-\frac{\sqrt{3}}{3}) > 0$, este es el máximo absoluto de la pendiente. 💡 **Tip:** Un punto donde la pendiente es máxima o mínima es un **punto de inflexión** de la función original, ya que es donde cambia la curvatura.

El enunciado nos pide el punto de la curva, por lo que debemos calcular la coordenada $y$ sustituyendo $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ en la función original $f(x)$: $$y = f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{1 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{3}{9}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$$ ✅ **Resultado (punto):** $$\boxed{P\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{3}{4}\right)}$$

**b) Calcule el valor de esa pendiente. (1 punto)** Para hallar el valor de la pendiente máxima, sustituimos $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ en la función pendiente $m(x) = f'(x)$: $$m_{max} = f'\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{-2\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}{\left(1 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\right)^2}$$ $$m_{max} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\left(1 + \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\left(\frac{4}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{16}{9}}$$ $$m_{max} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{9}{16} = \frac{18\sqrt{3}}{48} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$$ ✅ **Resultado (pendiente):** $$\boxed{m = \frac{3\sqrt{3}}{8} \approx 0.6495}$$