Posición relativa y distancia entre planos

**a) Obtenga la posición relativa de los planos $\pi_1$, que pasa por los puntos $A(1,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(0,0,-1)$, y $\pi_2$, que pasa por $A'(3,0,0)$, $B'(0,6,0)$ y $C'(0,0,-3)$. (1.25 puntos)** Para determinar la ecuación general del plano $\pi_1$, necesitamos un punto, por ejemplo $A(1,0,0)$, y su vector normal $\vec{n}_1$. El vector normal se obtiene mediante el producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano: $$\vec{AB} = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)$$ $$\vec{AC} = (0-1, 0-0, -1-0) = (-1, 0, -1)$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{n}_1 = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{n}_1 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-2 - 0) - \vec{j}(1 - 0) + \vec{k}(0 - (-2)) = -2\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$$ Tomamos como vector normal $\vec{n}_1 = (2, 1, -2)$. La ecuación del plano es: $$2(x-1) + 1(y-0) - 2(z-0) = 0 \implies 2x + y - 2z - 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Si un plano corta a los ejes en $(a,0,0)$, $(0,b,0)$ y $(0,0,c)$, su ecuación segmentaria es $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$. $$\pi_1: 2x + y - 2z - 2 = 0$$

Repetimos el proceso para el plano $\pi_2$, que pasa por $A'(3,0,0)$, $B'(0,6,0)$ y $C'(0,0,-3)$. Obtenemos los vectores directores: $$\vec{A'B'} = (0-3, 6-0, 0-0) = (-3, 6, 0)$$ $$\vec{A'C'} = (0-3, 0-0, -3-0) = (-3, 0, -3)$$ Calculamos el vector normal $\vec{n}_2 = \vec{A'B'} \times \vec{A'C'}$: $$\vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 6 & 0 \\ -3 & 0 & -3 \end{vmatrix} = \vec{i}(-18 - 0) - \vec{j}(9 - 0) + \vec{k}(0 - (-18)) = -18\vec{i} - 9\vec{j} + 18\vec{k}$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre $-9$, obteniendo $\vec{n}_2 = (2, 1, -2)$. La ecuación del plano es: $$2(x-3) + 1(y-0) - 2(z-0) = 0 \implies 2x + y - 2z - 6 = 0$$ $$\pi_2: 2x + y - 2z - 6 = 0$$

Para conocer la posición relativa, comparamos los coeficientes de las ecuaciones de los planos: $$\pi_1: 2x + y - 2z - 2 = 0$$ $$\pi_2: 2x + y - 2z - 6 = 0$$ Observamos la proporcionalidad de los coeficientes de las variables: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{2} = 1; \quad \frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1; \quad \frac{C_1}{C_2} = \frac{-2}{-2} = 1$$ Sin embargo, para los términos independientes: $$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} \neq 1$$ Como los vectores normales son proporcionales pero los términos independientes no mantienen la misma proporción, los planos no tienen puntos en común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los planos } \pi_1 \text{ y } \pi_2 \text{ son paralelos.}}$$

**b) Busque la mínima distancia entre los planos anteriores. (1.25 puntos)** Al ser planos paralelos, la distancia mínima entre ellos es constante. Podemos calcularla utilizando la fórmula de la distancia entre un punto de un plano y el otro plano, o directamente con la fórmula de distancia entre planos paralelos. Elegimos un punto de $\pi_1$, por ejemplo el punto dado $A(1, 0, 0)$. La distancia de $A$ al plano $\pi_2: 2x + y - 2z - 6 = 0$ es: $$d(\pi_1, \pi_2) = d(A, \pi_2) = \frac{|2(1) + 1(0) - 2(0) - 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}$$ Operamos en el numerador y el denominador: $$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|2 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-4|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$$ 💡 **Tip:** Para dos planos paralelos $Ax+By+Cz+D=0$ y $Ax+By+Cz+D'=0$, la distancia es $d = \frac{|D-D'|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. En este caso: $\frac{|-2-(-6)|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{4}{3}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(\pi_1, \pi_2) = \frac{4}{3} \text{ unidades de longitud}}$$