Invertibilidad y cálculo de la matriz inversa

**a) Halle los valores de $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa. (1.25 puntos)** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto, el primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ en función del parámetro $a$. $$|A| = \begin{vmatrix} a-1 & 2 & a-1 \\ 0 & a+1 & -1-a \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ es regular (tiene inversa) si $|A| \neq 0$. Si $|A| = 0$, la matriz se denomina singular.

Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = [(a-1)(a+1)a + 2(-1-a)1 + (a-1)0 \cdot 1] - [1(a+1)(a-1) + 1(-1-a)(a-1) + a \cdot 0 \cdot 2]$$ Operamos cada término con cuidado: 1. $(a-1)(a+1)a = (a^2-1)a = a^3 - a$ 2. $2(-1-a)1 = -2 - 2a$ 3. $(a-1)0 \cdot 1 = 0$ Parte positiva: $(a^3 - a) + (-2 - 2a) = a^3 - 3a - 2$ 4. $1(a+1)(a-1) = a^2 - 1$ 5. $1(-1-a)(a-1) = -(a+1)(a-1) = -(a^2-1) = -a^2 + 1$ 6. $a \cdot 0 \cdot 2 = 0$ Parte negativa: $(a^2 - 1) + (-a^2 + 1) = 0$ Finalmente: $$|A| = (a^3 - 3a - 2) - 0 = a^3 - 3a - 2$$ $$\boxed{|A| = a^3 - 3a - 2}$$

Para hallar cuándo $|A| = 0$, resolvemos la ecuación $a^3 - 3a - 2 = 0$. Probamos con divisores del término independiente ($\pm 1, \pm 2$) usando la regla de Ruffini. Para $a = -1$: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & -2 \\ -1 & & -1 & 1 & 2 \\\hline & 1 & -1 & -2 & 0 \end{array}$$ La primera raíz es $a = -1$. El polinomio se factoriza como $(a+1)(a^2 - a - 2)$. Resolvemos la ecuación de segundo grado restante: $$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos las soluciones $a = 2$ y $a = -1$. Por tanto, las raíces son $a = -1$ (doble) y $a = 2$. La matriz $A$ tiene inversa para todos los valores reales de $a$ excepto aquellos que anulan el determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \iff a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}}$$

**b) Busque, si es posible, la matriz inversa de $A$ en el caso $a = 0$. (1.25 puntos)** Primero comprobamos si existe inversa para $a = 0$. Como $0 \neq -1$ y $0 \neq 2$, la matriz es invertible. Sustituimos $a = 0$ en el determinante calculado anteriormente: $$|A|_{a=0} = 0^3 - 3(0) - 2 = -2$$ Ahora escribimos la matriz $A$ para $a = 0$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula para la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} [\text{Adj}(A)]^t$.

Calculamos cada uno de los adjuntos $A_{ij}$ de la matriz $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1-2) = 3$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - (-1) = -1$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(1) = -1$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Transponemos la matriz adjunta: $$[\text{Adj}(A)]^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$ Dividimos cada elemento por el determinante $|A| = -2$: $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -3/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -3/2 & 1/2 \end{pmatrix}}$$