Determinación de parámetros de una función cúbica

Para encontrar los coeficientes $a, b, c$ y $d$ de la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, utilizaremos la información proporcionada sobre sus puntos y derivadas. Calculamos primero la primera y segunda derivada de la función genérica: 1. $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 2. $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ 3. $f''(x) = 6ax + 2b$ Las condiciones dadas son: - Pasa por el punto $(1,1)$: $f(1) = 1$. - Tiene un mínimo en $x = 1$: $f'(1) = 0$. - Pasa por el punto $(0,3)$: $f(0) = 3$. - Tiene un punto de inflexión en $x = 0$: $f''(0) = 0$. 💡 **Tip:** Un punto $(x_0, y_0)$ que es un extremo relativo o punto de inflexión nos da **dos informaciones**: que el punto pertenece a la curva ($f(x_0) = y_0$) y el valor de la derivada correspondiente ($f'(x_0)=0$ para extremos o $f''(x_0)=0$ para inflexión).

Es más sencillo empezar por el punto $(0,3)$ ya que facilita la eliminación de términos. **1. El punto $(0,3)$ pertenece a la curva:** $$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 3 \implies \mathbf{d = 3}$$ **2. Hay un punto de inflexión en $x=0$:** La condición necesaria es $f''(0) = 0$. $$f''(0) = 6a(0) + 2b = 0 \implies 2b = 0 \implies \mathbf{b = 0}$$ De momento, nuestra función se reduce a $f(x) = ax^3 + cx + 3$.

Ahora aplicamos las condiciones en el punto $(1,1)$ usando los valores de $b$ y $d$ ya encontrados. **3. El punto $(1,1)$ pertenece a la curva:** $$f(1) = a(1)^3 + 0(1)^2 + c(1) + 3 = 1 \implies a + c + 3 = 1 \implies a + c = -2$$ **4. Hay un mínimo en $x=1$:** La condición necesaria es $f'(1) = 0$. Como $f'(x) = 3ax^2 + 2(0)x + c$: $$f'(1) = 3a(1)^2 + c = 0 \implies 3a + c = 0$$ Tenemos ahora un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} a + c = -2 \\ 3a + c = 0 \end{cases}$$

Resolvemos el sistema por el método de resta (reducción): $$(3a + c) - (a + c) = 0 - (-2)$$ $$2a = 2 \implies \mathbf{a = 1}$$ Sustituimos $a=1$ en la primera ecuación para hallar $c$: $$1 + c = -2 \implies c = -2 - 1 \implies \mathbf{c = -3}$$ 💡 **Tip:** Siempre es bueno verificar los valores obtenidos en ambas ecuaciones del sistema original para asegurar que no hay errores de cálculo.

Sustituyendo los valores hallados $a=1, b=0, c=-3, d=3$, la función buscada es: $$\boxed{f(x) = x^3 - 3x + 3}$$ **Verificación opcional:** - **Extremos:** $f'(x) = 3x^2 - 3$. Si $x=1$, $f'(1)=0$. Para saber si es mínimo, miramos $f''(1) = 6(1) = 6 > 0$. Al ser la segunda derivada positiva, confirmamos que es un **mínimo**. - **Inflexión:** $f''(x) = 6x$. Si $x=0$, $f''(0)=0$. Como el signo de $f''(x)$ cambia en $x=0$ (de negativo a positivo), confirmamos el **punto de inflexión**. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f''(x) = 6x & - & 0 & + \end{array}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = x^3 - 3x + 3}$$