Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio

**a) Determine la posición relativa de la recta respecto a cada uno de los planos. (1 punto)** Para determinar la posición relativa de una recta $r$ y un plano $\pi$, extraemos el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}$. De las ecuaciones paramétricas de $r$: - Punto $P_r(1, -5, -3)$ - Vector director $\vec{v}_r = (2, -5, 2)$ De la ecuación general de $\pi_1: x + 2y + 3z - 1 = 0$: - Vector normal $\vec{n}_1 = (1, 2, 3)$ Calculamos el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_1$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_1 = (2) \cdot (1) + (-5) \cdot (2) + (2) \cdot (3) = 2 - 10 + 6 = -2$$ Como $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_1 \neq 0$, los vectores no son perpendiculares. Esto significa que la recta no es paralela ni está contenida en el plano. 💡 **Tip:** Si el producto escalar del vector director de la recta y el normal del plano es distinto de cero, la recta y el plano son secantes (se cortan en un punto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi_1 \text{ son secantes.}}$$

Analizamos ahora la recta $r$ con el plano $\pi_2: x + 2y + 4z - 2 = 0$. - Vector normal $\vec{n}_2 = (1, 2, 4)$ - Vector director $\vec{v}_r = (2, -5, 2)$ Calculamos el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_2$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_2 = (2) \cdot (1) + (-5) \cdot (2) + (2) \cdot (4) = 2 - 10 + 8 = 0$$ Al ser el producto escalar igual a cero, la recta $r$ es paralela al plano o está contenida en él. Comprobamos si el punto $P_r(1, -5, -3)$ pertenece a $\pi_2$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del plano: $$1 + 2(-5) + 4(-3) - 2 = 1 - 10 - 12 - 2 = -23 \neq 0$$ Como el punto no satisface la ecuación, la recta no está contenida en el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi_2 \text{ son paralelos.}}$$

**b) Determine la posición relativa de los dos planos. (0.75 puntos)** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales. Si además el término independiente guarda la misma proporción, son coincidentes. Si no son proporcionales, son secantes. Comparamos los coeficientes de $\pi_1: 1x + 2y + 3z - 1 = 0$ y $\pi_2: 1x + 2y + 4z - 2 = 0$: $$\frac{1}{1} = \frac{2}{2} \neq \frac{3}{4}$$ Como los vectores normales $\vec{n}_1(1, 2, 3)$ y $\vec{n}_2(1, 2, 4)$ no son proporcionales, los planos se cortan en una recta. 💡 **Tip:** Dos planos son paralelos si $\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'}$. Si falla alguna igualdad, son secantes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi_1 \text{ y } \pi_2 \text{ son planos secantes.}}$$

**c) Calcule la distancia de $r$ al plano $\pi_2$. (0.75 puntos)** En el apartado a) hemos determinado que la recta $r$ y el plano $\pi_2$ son paralelos. Por tanto, la distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano: $$d(r, \pi_2) = d(P_r, \pi_2)$$ Usamos el punto $P_r(1, -5, -3)$ y el plano $\pi_2: x + 2y + 4z - 2 = 0$. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(r, \pi_2) = \frac{|1 \cdot (1) + 2 \cdot (-5) + 4 \cdot (-3) - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2}}$$ $$d(r, \pi_2) = \frac{|1 - 10 - 12 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 16}} = \frac{|-23|}{\sqrt{21}} = \frac{23}{\sqrt{21}}$$ Racionalizando (opcional pero recomendado): $$\frac{23}{\sqrt{21}} = \frac{23\sqrt{21}}{21} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la recta fuera secante al plano, la distancia sería automáticamente $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi_2) = \frac{23}{\sqrt{21}} \approx 5.02 \text{ u}}$$