Cálculo de una integral definida por descomposición en fracciones simples

Para resolver la integral $\int_1^2 \frac{1}{x^2 + 3x} dx$, observamos que el integrando es una función racional donde el grado del numerador (0) es menor que el del denominador (2). Primero, factorizamos el denominador: $$x^2 + 3x = x(x + 3)$$ Como tenemos factores lineales reales no repetidos, utilizaremos el método de **descomposición en fracciones simples**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el denominador se puede factorizar en raíces reales distintas, la fracción se puede expresar como una suma de fracciones del tipo $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$.

Planteamos la igualdad para encontrar las constantes $A$ y $B$: $$\frac{1}{x(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+3}$$ Para hallar $A$ y $B$, multiplicamos toda la ecuación por el denominador común $x(x+3)$: $$1 = A(x+3) + Bx$$ Ahora, damos valores estratégicos a $x$ (las raíces del denominador): - Si **$x = 0$**: $$1 = A(0+3) + B(0) \implies 1 = 3A \implies A = \frac{1}{3}$$ - Si **$x = -3$**: $$1 = A(-3+3) + B(-3) \implies 1 = -3B \implies B = -\frac{1}{3}$$ Por tanto, el integrando queda así: $$\frac{1}{x^2+3x} = \frac{1/3}{x} - \frac{1/3}{x+3}$$ $$\boxed{\frac{1}{x^2+3x} = \frac{1}{3x} - \frac{1}{3(x+3)}} $$

Integramos cada término por separado aprovechando la linealidad de la integral: $$\int \left( \frac{1/3}{x} - \frac{1/3}{x+3} \right) dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+3} dx$$ Ambas son integrales inmediatas de tipo logarítmico: $$F(x) = \frac{1}{3} \ln|x| - \frac{1}{3} \ln|x+3|$$ Usando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$), simplificamos la expresión: $$F(x) = \frac{1}{3} \ln \left| \frac{x}{x+3} \right|$$ 💡 **Tip:** No olvides que $\int \frac{u'}{u} dx = \ln|u| + C$.

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida en el intervalo $[1, 2]$: $$\int_1^2 \frac{dx}{x^2 + 3x} = \left[ \frac{1}{3} \ln \left| \frac{x}{x+3} \right| \right]_1^2$$ Calculamos los valores en los límites superior e inferior: - Límite superior ($x=2$): $$F(2) = \frac{1}{3} \ln \left| \frac{2}{2+3} \right| = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{2}{5} \right)$$ - Límite inferior ($x=1$): $$F(1) = \frac{1}{3} \ln \left| \frac{1}{1+3} \right| = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{1}{4} \right)$$ Restamos los resultados: $$\text{Resultado} = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{2}{5} \right) - \frac{1}{3} \ln \left( \frac{1}{4} \right)$$ Agrupamos de nuevo usando propiedades de logaritmos: $$\frac{1}{3} \left( \ln \frac{2}{5} - \ln \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{2/5}{1/4} \right) = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{8}{5} \right)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_1^2 \frac{dx}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{8}{5} \right) \approx 0.1567}$$ 💡 **Tip:** En los exámenes de EBAU se prefiere el resultado exacto con logaritmos antes que la aproximación decimal.