Rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia

**Halle el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio $3$. (2.5 puntos)** Sea un rectángulo de base $x$ y altura $y$ inscrito en una circunferencia de radio $r=3$. Si el rectángulo está inscrito, su diagonal debe coincidir con el diámetro de la circunferencia, es decir, $d = 2r = 6$. Podemos visualizar la situación geométricamente: Por el teorema de Pitágoras, la relación entre los lados y el diámetro es: $$x^2 + y^2 = 6^2 \implies x^2 + y^2 = 36$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre identifica la función a maximizar (área) y la relación de ligadura entre las variables (Pitágoras).

Queremos maximizar el área del rectángulo: $$A = x \cdot y$$ Despejamos $y$ de la ecuación de ligadura $x^2 + y^2 = 36$: $$y = \sqrt{36 - x^2}$$ Sustituimos en la función del área para obtener una función con una sola variable: $$A(x) = x \cdot \sqrt{36 - x^2}$$ **Dominio de la función:** Dado que $x$ es una longitud y debe ser menor que el diámetro, el dominio físico es $x \in (0, 6)$.

Para hallar el máximo, derivamos la función $A(x) = x(36 - x^2)^{1/2}$ usando la regla del producto y la regla de la cadena: $$A'(x) = 1 \cdot \sqrt{36 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{36 - x^2}} \cdot (-2x)$$ Simplificamos la expresión: $$A'(x) = \sqrt{36 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{36 - x^2}}$$ Ponemos común denominador: $$A'(x) = \frac{(\sqrt{36 - x^2})^2 - x^2}{\sqrt{36 - x^2}} = \frac{36 - x^2 - x^2}{\sqrt{36 - x^2}}$$ $$A'(x) = \frac{36 - 2x^2}{\sqrt{36 - x^2}}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $f(x) \cdot g(x)$, recuerda $(f \cdot g)' = f'g + fg'$. Si tienes una raíz, $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$A'(x) = 0 \implies 36 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 36 \implies x^2 = 18$$ Como $x > 0$, tomamos la solución positiva: $$x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4,24$$ Analizamos el signo de $A'(x)$ en el dominio $(0, 6)$ para confirmar que es un máximo: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 3\sqrt{2}) & 3\sqrt{2} & (3\sqrt{2}, 6) \\ \hline 36 - 2x^2 & + & 0 & - \\ \sqrt{36 - x^2} & + & + & + \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \text{Comportamiento} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ En $x = 3\sqrt{2}$ existe un **máximo relativo** (y absoluto en el intervalo).

Calculamos el valor de la altura $y$ para $x = 3\sqrt{2}$: $$y = \sqrt{36 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 18} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ Al ser $x = y$, el rectángulo de área máxima es un **cuadrado**. Calculamos el área máxima: $$A = x \cdot y = 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El rectángulo es un cuadrado de lado } 3\sqrt{2} \text{ y área } 18 \text{ u}^2}$$ Podemos ver la representación de la función área $A(x)$ en el siguiente interactivo: