Plano paralelo a otro definido por punto y recta

**Encuentre una ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas, es paralelo al plano determinado por el punto $P(1,-1,0)$ y la recta que pasa por el punto $Q(2,2,2)$ y tiene vector director $v = (1,2,3)$. (2.5 puntos)** Primero, definimos los elementos que tenemos: 1. El origen de coordenadas: $O(0, 0, 0)$. 2. El plano $\pi_1$ que queremos construir como referencia está determinado por: - Un punto $P(1, -1, 0)$. - Una recta $r$ que pasa por $Q(2, 2, 2)$ con vector director $\vec{v} = (1, 2, 3)$. Para definir un plano, necesitamos un punto y dos vectores directores (no paralelos) o un punto y un vector normal. 💡 **Tip:** Si un plano contiene a una recta, el vector director de la recta es también un vector director del plano.

Llamemos $\pi_1$ al plano determinado por $P$ y la recta $r$. Sus vectores directores serán: - El vector director de la recta: $\vec{u_1} = \vec{v} = (1, 2, 3)$. - El vector que une el punto $P$ con el punto $Q$ de la recta: $$\vec{u_2} = \vec{PQ} = Q - P = (2 - 1, 2 - (-1), 2 - 0) = (1, 3, 2).$$ Ahora tenemos dos vectores directores para $\pi_1$: $\vec{u_1} = (1, 2, 3)$ y $\vec{u_2} = (1, 3, 2)$.

Para hallar el vector normal $\vec{n}$ al plano $\pi_1$, realizamos el producto vectorial de sus vectores directores $\vec{u_1}$ y $\vec{u_2}$: $$\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{n} = [(2 \cdot 2)\vec{i} + (3 \cdot 1)\vec{j} + (1 \cdot 3)\vec{k}] - [(1 \cdot 2)\vec{k} + (3 \cdot 3)\vec{i} + (2 \cdot 1)\vec{j}]$$ $$\vec{n} = (4\vec{i} + 3\vec{j} + 3\vec{k}) - (2\vec{k} + 9\vec{i} + 2\vec{j})$$ $$\vec{n} = (4 - 9)\vec{i} + (3 - 2)\vec{j} + (3 - 2)\vec{k} = -5\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$$ Por lo tanto, el vector normal es $\vec{n} = (-5, 1, 1)$. 💡 **Tip:** El vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$ define la orientación del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

Buscamos un plano $\pi_2$ que cumpla dos condiciones: 1. Es paralelo a $\pi_1$. Esto significa que tienen el mismo vector normal: $\vec{n} = (-5, 1, 1)$. 2. Pasa por el origen $O(0, 0, 0)$. La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es: $$Ax + By + Cz + D = 0$$ Sustituimos las componentes de $\vec{n}$: $$-5x + y + z + D = 0$$ Como el plano pasa por $O(0, 0, 0)$, sustituimos las coordenadas del punto para hallar $D$: $$-5(0) + (0) + (0) + D = 0 \implies D = 0.$$ La ecuación resultante es $-5x + y + z = 0$. Multiplicando por $-1$ para simplificar la expresión: $$5x - y - z = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{5x - y - z = 0}$$