Matrices, determinantes y discusión de sistemas homogéneos

**a) Resuelva la ecuación $\text{det}(A - x \cdot I_3) = 0$ (1 punto)** Primero, calculamos la matriz resultante de la operación $A - x \cdot I_3$, restando la variable $x$ a los elementos de la diagonal principal de la matriz $A$: $$A - x \cdot I_3 = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-x & -1 & 0 \\ -1 & 3-x & 0 \\ 0 & 0 & 2-x \end{pmatrix}$$ Para calcular el determinante $\text{det}(A - x \cdot I_3)$, desarrollamos por la tercera fila aprovechando la presencia de los ceros: $$\begin{vmatrix} 3-x & -1 & 0 \\ -1 & 3-x & 0 \\ 0 & 0 & 2-x \end{vmatrix} = (2-x) \cdot \begin{vmatrix} 3-x & -1 \\ -1 & 3-x \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Desarrollar por una fila o columna con muchos ceros simplifica notablemente el cálculo de determinantes de orden 3.

Calculamos el determinante de orden 2 restante: $$(2-x) \cdot [(3-x)(3-x) - (-1)(-1)] = (2-x) \cdot [(3-x)^2 - 1]$$ Expandimos el binomio al cuadrado y simplificamos: $$(2-x) \cdot [9 - 6x + x^2 - 1] = (2-x) \cdot (x^2 - 6x + 8)$$ Para resolver la ecuación $\text{det}(A - x \cdot I_3) = 0$, igualamos cada factor a cero: 1. $2 - x = 0 \implies \mathbf{x = 2}$ 2. $x^2 - 6x + 8 = 0$. Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$$ Obtenemos las soluciones $x = 4$ y $x = 2$. Las soluciones de la ecuación son $x=2$ (raíz doble) y $x=4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2, \quad x = 4}$$

**b) Discuta el sistema homogéneo de matriz $A - x \cdot I_3$ según los valores del número real $x$. (0.75 puntos)** Sea $M = A - x \cdot I_3$. Un sistema homogéneo $M \cdot X = 0$ siempre es compatible (admite al menos la solución trivial). Usamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** basándonos en el determinante calculado anteriormente: - **Si $x \neq 2$ y $x \neq 4$:** El determinante es distinto de cero ($\text{det}(M) \neq 0$), por lo que el rango de la matriz es $3$. Al coincidir con el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. - **Si $x = 2$:** El determinante es cero. La matriz es $M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. El rango es $1$ (todas las filas son proporcionales). Como $\text{rango}(M) = 1 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. - **Si $x = 4$:** El determinante es cero. La matriz es $M = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$. El rango es $2$ ya que existe un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$. Como $\text{rango}(M) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 💡 **Tip:** En sistemas homogéneos, el sistema nunca puede ser Incompatible. Siempre es Compatible Determinado (solución única trivial) o Compatible Indeterminado (infinitas soluciones).

**c) Resuélvalo en aquellos casos en que el sistema sea compatible determinado. (0.75 puntos)** Como hemos determinado en el apartado anterior, el sistema es **Compatible Determinado** cuando el valor de $x$ es cualquier número real excepto $2$ y $4$ ($x \in \mathbb{R} \setminus \{2, 4\}$). En cualquier sistema de ecuaciones lineal homogéneo que es Compatible Determinado, la única solución posible es la **solución trivial**. Esto se debe a que el único punto que satisface todas las ecuaciones simultáneamente cuando el determinante es distinto de cero es el origen de coordenadas. Por tanto, la solución para estos casos es: $$x_1 = 0, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Solución trivial: } (0, 0, 0)}$$